10. Комбинаторные задачи геом-ого содержания. Свойства чисел . Свойства чисел

= (1)

Числа -выражают количество k-элементных подмножеств данного множества Х, состоящего из m элементов, т.е. количество сочетаний без повторений из m элементов по k, обладает целым рядом замечательных свойств. Эти свойства можно доказать исходя из формулы (1). Но более содерж. явл-ся доказательства, опирающиеся на теорию множеств.

1⁰. Если , то (2)

1)

2) Смысл этого утверждения заключается в следующем:

Пусть множество Х состоит из m элементов, тогда каждому k-элементному подмножеству А множество Х соответствует однозначно определенное подмножество содержащее (m-k) элементов. Оно получается из Х удалением всех элементов подмножества А и называется дополнением к А в Х.

Любое (m-k)-элементное подмножество в множестве Х является дополнением 1! k-элементного подмножества. Значит существует взаимно-однозначное соответствие между k-элементными и (m-k)-элементными подмножествами, а потому число подмножеств этих 2-х видов одинаково. Это утверждение выражается формулой (2).

2⁰. Справедливо равенство (3)

Теор: Число подмножеств m-элементного множества равно 2^m.

1) В самом деле выполняется равенство (3). Но любое подмножество множества Х содержит k элементов. Т.к. число k-подмножеств в множестве Х равно , то по правилу общее число подмножеств m-элементного множества Х равно . Сравнивая 2 полученных выражения получим равенство (3).

11. Биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

С помощью равенства можно последовательно вычислить .

Вычисления удобно записывать в виде треугольной таблицы:

Такую таблицу называют треугольником Паскаля.

В (n+1) строке таблицы по порядку стоят числа , а остальные числа находятся по формуле . Поскольку и располагаются в этой таблице строкой выше чем и находится в верхней строке слева и справа от , то для получения надо сложить слева и справа от него числа предыдущей строки.

Числа стоящие в треугольнике Паскаля встречаются при возведении в степень 2-х-члена (a+b)ⁿ

(a+b)⁰=1

(a+b)¹=1a+1b

(a+b)²=1a²+2ab+1b²

(a+b)³=1a³+3a²b+3ab² +1b³

……………………………..

Продолжая такой расчет можно записать следующую гипотезу.

12. Ряд Ньютона на случай действительных показателей (n=1/2 и n=-1/2).

Пусть дано n=1/2 и n=-1/2. Возьмем n=1/2 и наша формула примет вид: (1)

Точно также для n=-1/2

(2)

Из (1) следует

(1’)

Сравнивая (1) и (2) можно записать иначе для этого заметим, что . И так (1’) примет вид: (3)

А (2) примет вид: +

Эти выражения сходятся в области (x)<1. И нашему соотношению (5)

С помощью формул (3) и (4) можно извлекать квадратные корни любой точности.

13. Генерация подмножеств. Числа Стирлинга 2-го и 1-го рода.

Генерация n-элементных подмножеств m-элементного множества.

Заметим, что в искомой последовательности n-элементных подмножеств (каждое из которых является возрастающей последовательностью n чисел из диапазона 1..m) вслед за последовательностью следует последовательность , где p – максимальный индекс, для которого b_n=a_p+n-p+1 m. Другими словами, следующая последовательность получается из предыдущей заменой некоторого количества элементов в хвосте последовательности на идущие подряд целые числа, но так, чтобы последний элемент не превосходил m, а первый изменяемый элемент был на 1 больше, чем соответствующий элемент в предыдущей последовательности. Таким образом, индекс p, начиная с которого следует изменить «хвост последовательности», определяется по значению элемента A[n]. Если A[n]<m, то нужно уменьшать индекс p:=p-1, увеличивая длину изменяемого хвоста.

Числа Стирлинга второго рода.

Число разбиений m-элементного множества на n блоков называется число Стирлинга второго рода и обозначается s(m,n). По определению положим, что S(m,0) , при m>0, S(m,m) , S(0,0) , S(m,n) при n>m.

Теорема1: S(m,n)=S(m-1,n-1)+nS(m-1,n).

Доказательство: Пусть V – множество всех разбиений множества {1,…,m} на n блоков. Положим

V₁= ,

V₂= т.е. в V₁ входят разбиения, в которых элемент m образует отдельный блок, а в V₂ – все остальные разбиения. Заметим, что V₂= . Тогда , Ø. Имеем S(m-1,n-1), nS(m-1,n), так как все разбиения V₂ получаются следующим образом: берем все разбиения множества {1,…,m-1} на n блоков (их S(m-1,n)) и в каждый блок по очереди помещаем элемент m. Следовательно, S(m,n)= =S(m-1,n-1)+nS(m-1,n).