1.

Определение предела функции в точке.

Функция одной переменной. Определение предела функции в точке по Коши.Число bназывается пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа  существует такое положительное число , что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < , выполняется неравенство | f(x) – a | <  .

Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности {x_n}, сходящейся ка (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n х_n ≠ а, последовательность {y_n = f(x_n)} сходится к b.

Данные определения предполагают, что функция у = f(x) определена в некоторой окрестноститочки а, кроме, быть может, самой точки а.

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.Указанный предел обозначается так:

Предел суммы, произведения, частного двух функций (с доказательством для суммы).

Теорема Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы:

1. (u±v)/=u/±v/, 2) (u·v)/=u/v+v/u, 3) (vu)=v2u/v−v/u .

Доказательство Из определения производной:

(u±v)/=limΔx→0Δx[u(x+Δx)±v(x+Δx)]−[u(x)±v(x)]= =limΔx→0Δx[u(x+Δx)−u(x)]±[v(x+Δx)−v(x)]=  .    

=limΔx→0Δxu(x+Δx)−u(x)±limΔx→0Δxv(x+Δx)−v(x)=u/±v/

(u·v)/=limΔx→0Δxu(x+Δx)·v(x+Δx)−u(x)·v(x)±v(x+Δx)·v(x)= limΔx→0Δxu(x+Δx)[v(x+Δx)−v(x)]+      

+limΔx→0Δxv(x)[u(x+Δx)−u(x)]=uv/+vu/.

(vu)/=limΔx→0Δxv(x+Δx)u(x+Δx)−v(x)u(x)=limΔx→0Δx·v(x+Δx)·v(x)u(x+Δx)·v(x)−u(x)·v(x+Δx)±u(x)·v(x)=v2u/v−v/u.

Теорема доказана.

2.Определение производной, ее геометрический и физический смысл.

Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения

функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует и конечен, т.е.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ

Если в точке x существуют конечные производные функций v = v(x) и u = u(x),

то в этой точке существуют также производные суммы, разности, произведения и частного этих функций, причем:

1.
2.
3.
4.			(при		);
5.

1. Производная сложной функции

Если функция y = f(x) имеет производную в точке x0, а функция y = g(x) имеет производную

в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x))

также имеет производную в точке x₀, причем

2. Достаточное условие монотонности функции

Если в каждой точке интервала (a; b) выполнено неравенство

то функция y = f(x) возрастает на этом интервале.

 

Если

при

то y = f(x) убывает на (a; b).

3. Необходимое условие экстремума функции

Если точка x0 является точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке

существует производная

то она равна нулю

.

Если функция y = f(x) определена на интервале (a; b), непрерывна в точке

4. Признак максимума функции

имеет производную

на интервалах

и

x0 является точкой максимума функции

на интервале

и

на интервале

то точка

 

5. Признак минимума функции

Если функция

определена на интервале

непрерывна в

точке

имеет производную

на интервалах

и

на интервале

и

на интервале

то точка x0 является точкой минимума функции

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек (точек из области определения, в которых производная функции обращается в ноль или не существует), нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка и выбрать наибольшее и наименьшее из полученных чисел.