Частные произв. Высших порядков

z=f(x,y), если ф-я дифференцир., то вычисл. , . Если частные про- изводные 1-го порядка в свою очередь явл. дифферен. ф-ями, то найдём от них частные производн.

,

Если вычислить частн. производные от частного 2-го порядка, то получим 8 частных произв. 3-го пор

. Производные и назыв. смешанные. Справедлива след. Теорема: если смешан. произв. 2-го порядка непре- рывны, то они равны м/у собой.

Следствие: если смешан. произв. любого порядка отличаются только порядком, то они =.

Дифф-лы высших порядков

– исходное

Диф-лом 2-го порядка назыв. диф-л от 1-го диф-ла, рассм. как ф-я от (x,y). dx, dy – считаются постоянными.

диф-л 3-го порядка

8. необходимое и достаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

Необходимые условия экстремума

Рассм. ф-ю Z=f(x,y). Говорят, что т.М₀ явл. точкой локального max, если сущ. такая окрестность этой точки, что для всех точек М(x,y) из этой окрестности выполнено условие:

M₀ – точка локального min, если сущ. окрестность этой точки, то для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполнено нер-во

Необходимый признак экстремума: если в т.М₀(x₀,y₀)

ф-я Z=f(x,y) имеет экстремум, то частные производные в этой точке =0.

Эти условия равносильны.

dz(M₀)=0, grad z(M₀)= Необходимые условия не явл. достаточными. Если в т.М₀ выполнены необх. условия, то т. М₀ наз. стационарной (подозрительной на экстремум).

Достаточное условие экстремума

Теорема: пусть М₀(x₀,y₀) стацион. Точка ф-ции Z=f(x,y), т.е. dz(M₀)=0, если то т.М₀ будет экстремум:

если то М₀ – т. min

если то М₀ – т. max

Второй вид достаточных условий:

1) Если Δ>0, то в т.М₀ экстремум. Если А>0, то т. min; если A<0, то т. max.

2) Если Δ>0, то в т.М₀ экстремума нет.

3) Если Δ=0, то вопрос требует дальнейш. рассмотрения.

9. условный экстремум. Метод неопределенных множителей Лагранжа.

10. двойной интеграл, его свойства, вычисление в декартовых координатах.

Геометрич. смысл 2-го интеграла

представляет собой V (объём) тела, ограниченного областью D на пл-ти Oxy, поверх-тью z=f(x,y) отрезками прямых, проходящих ч/з границу области D до пересеч-я с поверх-тью.

С помощью 2-х инт. вычисл. площади. f(x,y)≡1

V=SH, H=1

Св-ва 2-х интегралов

1⁰ Двойной интеграл от суммы ф-й равен сумме инт-лов от этих ф-й.

По определению и теореме, что предел суммы = сумме пределов.

2⁰ Постоянную можно выносить за знак 2-го интеграла.

3⁰ Если область D разбита на 2 части D₁ и D₂, то справедливо рав-во:

11. тройной интеграл, его свойства, вычисление в декартовых координатах.

Св-ва 3-х инт

1⁰ Двойной интеграл от суммы ф-й равен сумме инт-лов от этих ф-й.

По определению и теореме, что предел суммы = сумме пределов.

2⁰ Постоянную можно выносить за знак 2-го интеграла.

3⁰ Если область D разбита на 2 части D1 и D2, то справедливо рав-во:

12. полярные и криволинейные координаты на плоскости, замена переменных в 2ом интеграле. Якобиан.