19. Фундаментальная система решений однородной системы уравнений.

Решения однородной системы обладают следующими св-ми, если вектор α =(α1,α2,…,αn) явл-ся решением системы (1.53), то и для любого числа k вектор kα =(kα1 kα2, ..., kαn)также будет решением этой системы. Если решением системы (1.53) явл-ся также и вектор у = (у1, у2, ..., уn ), то сумма α + у также будет решением этой системы. Отсюда следует, что любая линейная комбинация решений однородной системы также явл-ся решением этой системы. Как мы знаем из 1.1.4, всякая система n-мерных векторов, состоящая более чем из п векторов, явл-ся линейно зависимой. Т.о. из множества векторов-решений однородной системы (1.53) можно выбрать базис, т. е. любой вектор-решение данной системы будет линейной комбинацией векторов этого базиса. Любой такой базис наз-ся фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если ранг г системы однородных уравнений (1.53) меньше числа неизвестных п, то всякая ее фундаментальная система решений состоит из (п - r) решений.

Укажем теперь способ нахождения фундаментальной системы решений. Пусть система однородных уравнений (1.53) имеет ранг r< п. Тогда, как следует из правила Крамера, базисные неизвестные этой системы Х1, х2, ..., хr линейно выражаются через свободные переменные x(r+1)…xn ………… (1,54)

Выделим частные решения однородной системы (1.53) по следующему принципу. Для нахождения первого вектора-решения х, примем значения свободных переменных

Затем находим второе решение х2: принимаем х(1+2)= 1, а остальные r – 1 свободные переменные примем равными 0. Иными словами, мы последовательно присваиваем каждой свободной переменной единичное значение, считая остальные нулями. Т.о., фундаментальная система решений (ФСР) в векторной форме с учетом первых г базисных переменных (1.54) имеет вид

Фундаментальная система решений (1.55) явл-ся одним из фундаментальных наборов решений однородной системы (1.53).

20. Общее решение системы уравнений в векторной форме. Пусть х — собственный вектор квадратной м-ы А порядка п. Тогда имеет место матричное уравнение (1.56)

где X — собственное значение м-ы А, а Е и 0 — соответственно, единичная м-а и нулевой вектор-столбец. Поскольку собственный вектор не явл-ся нулевым, то однородная система (1.56) должна иметь ненулевое решение, т. е. в силу следствия 2 (см. ранее) определитель этой системы =0: Определитель системы однородных уравнений (1.56) наз-ся характеристическим многочленом, а уравнение (1.57) характеристическим уравнением м-ы А.

Уравнение (1.57) имеет степень п относительно неизвестной X. Его корни явл-ся собственными числами м-ы А. Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти соответствующий собственный вектор как решение однородной системы (1.56).

21. Собственное значение и собственный вектор матрицы. Собственные значения линейного преобразования или оператора А, числа l, для которых сущ-ет ненулевой вектор х такой, что Ах = lх; вектор х наз-ся собственным вектором. Так, Собственные значения дифференциального оператора L (y) с заданными краевыми условиями служат такие числа l, при которых уравнение L (y) = lу имеет ненулевое решение, удовлетворяющее этим краевым условиям. Например, если оператор L (y) имеет вид у’’, то его Собственные значения при краевых условиях y (0) = у (p) = 0 служат числа вида ln = n2, где n — натуральное число, т.к. уравнению — у’’ = n2у с указанными краевыми условиями удовлетворяют функции уп = sin nx; если же ln ¹ n2 ни при каком натуральном n, то уравнению —у’’ = lу при тех же краевых условиях удовлетворяет только функция у (х) º 0. К изучению Собственные значения линейных операторов приводят многие задачи математики, механики и физики (аналитической геометрии и алгебры, теории колебаний, квантовой механики и т.д.).

Собственные значения м-ы ) наз-ют Собственные значения соответствующего ей линейного преобразования n-мерного комплексного пространства. Их можно определить также как корни определителя м-ы А — lЕ (где Е — единичная м-а)