16. Канонические переменные. Функция Гамильтона

Если ввести “S” новых переменных и предположить, что эти зависимости могут быть разрешены относительно обобщенных скоростей , то система уравнений приводится к системе “2S” ДУ 1-го порядка.

- форма Лагранжа; - переменные Лагранжа.

- форма Гамильтона; y, z – переменные Гамильтона

- “2S” переменные Гамильтона

- функция Гамильтона -- это

характеристическая функция механической системы, выраженная через канонические переменные: обобщенные координаты и обобщенные импульсы

Можно показать, что , тогда функция Гамильтона

Для стационарных задач (допущение):

,

допущение (частный случай):

- Совпадает с обобщенным интегралом энергии.

29. Формула Циолковского для многоступенчатой ракеты

а) n-ступеней

б)

в) -число циолковского

17. Канонические уравнения Гамильтона

Канонические уравнения:

(1)

Система “2S” ДУ 1-го порядка (1) эквивалентна системе “S” ДУ 2-го порядка

Канонические уравнения Гамильтона:

18. Уравнения свободных колебаний системы с одной степенью свободы

= 0 | /m

Т.к. λ = mg / C

При t=0:

19. Уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы: силовое возбуждение колебаний

Силовое возбуждение колебаний происходит под действием внешней периодической силы P

Подставим в :

Если , то наступит резонанс. Если не равны, то резонанса не будет. Резонанс -- явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний в какой-либо колебательной системе

20. Уравнения вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы: кинематическое возбуждение колебаний

Кинематическое возбуждение колебаний происходит под действием внешнего периодического смещения системы.

Подставим в :

21. Свободные колебания системы с одной степенью свободы с затуханием

- десепативная функция Релея (функция рассеивания системы)

(1)

а) малое сопротивление колебаний

- частота собственных затухающих колебаний

– логарифмический декремент (затухание) колебаний. ψ- коэффициент затухания

б) сильное сопротивление колебаний

Из (1) получим:

в) n=k

Будут апериодические колебания( в которых нельзя выделить полный период колебаний)

22. Малые свободные колебания систем с 2 степенями свободы. Парциальные частоты

в равновесии

Парциальная система – условная колебательная система с одной степенью свободы, которая соответствует одной из обобщенных координат.

а_ij- инерционные коэффициенты

с_ij- коэффициенты жесткости

- парциальные частоты

23. Малые свободные колебания систем с 2 степенями свободы. Нормальные координаты

Из уравнения Лагранжа II рода:

Чтобы найти AB 0:

k – частота собственных колебаний

Нормальные координаты:

- нормальные (главные) координаты

27. Задача Циолковского

(1)

- реактивная сила

-расчет тяги

S- площадь сопла,

p(x)- давление атмосферное, р- давление газа.

Из (1):

Ракета летит в пустоте:

(2)

- эффективная скорость истечения

Из (2):

- силы тяготения

26. Поступательное движение твердого тела переменной массы. Уравнение Мещерского

Тело переменной массы – тело, масса которого изменяется вследствие отделения или присоединения к телу материальных точек (частиц). Допущения:

1) Рассматриваются только отделение частиц

2) Массы отделяющихся частиц малы

3) Частицы отделяются последовательно

4) Время отделения частиц мало

Т.к. процесс отсоединения частиц непрерывный, то является величиной непрерывной и дифференциальной.

5) Все точки движутся одинаково, т.к. (1). Можно показать, что теорема об изменении количества движения тела переменной массы имеет вид: , U₁-абсолютная скорость частицы

Уравнение Мещерского. Движение рассматривается вдоль оси х, поэтому пишем скалярные формулы. Из (1):

- относительная скорость

– уравнение Мещерского

- реактивная сила