29. Числовые последовательности

П ример. Парадокс Зенона. Ахилл догоняет черепаху. Последовательность расстояний от Ахилла до черепахи

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, . . . , 1/2ⁿ, . . .

это числовая последовательность и её элемент а_n = 1/2ⁿ с ростом n делается сколь угодно малым, но 0 так и не достигает. Черепаха является пределом устремлений Ахилла и, соответственно, 0 есть предел для элемента а_n при n или limа_n = 0.

Определение. Бесконечной числовой последовательностью называется последовательность значений функции f(x) (определенной на всей числовой оси) при целочисленных значениях аргумента. Обозначения: u_n = f(n), где n = 1, 2, 3, . . . или u₁, u₂, u₃, . . . , u_n . . .

Пример. Если f(x) = 2^x, то имеем 2, 4, 8, . . . , если f(x) = 1/2^x, то имеем 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, . . .

Определение. Пределом числовой последовательности (ч.п.) а_n называется число а, такое что с ростом n разность между числом и членом последовательности становится меньше любого наперед заданного числа, тогда а = limа_n.

Пусть > 0, тогда имеется такое N, что для n > N выполняется неравенство |а_n – a| < . Оно означает, что, начиная с некоторого N ( ), члены последовательности находятся в -окрестности точки а, т.е.

|a_n – a| > _| |a_n – a| < . .__________|_____|_____|_______.

1 2 3 N( ) a – a a +

Все ч.п. а_n делятся на два типа: сходящиеся, если имеется конечный предел и расходящиеся, если нет. Факт существования предела следует из факта существования пограничного N( ).

Пример. lim(3n + 1)/(2n – 1) = 3/2 при n . Определим N( ) при = 0,1.

|3/2 – а_n| = |3/2 – (3n + 1)/(2n – 1)| = 5/(4n + 2) < n > (2 + 5)/4 N( ) = (2 + 5)/4 .

Ответ. При n > 13 разность между пределом 3/2 и а_n меньше 0,1.

Числовая последовательность с нулевым пределом называется последовательностью бесконечно малых, а процесс прохождения по её элементам называется предельным процессом.

Соединим точки графика первого примера непрерывной линией и введем предельный процесс для непрерывно изменяющейся величины.

Определение. Величина х называется бесконечно малой величиной (б.м.в.), если она стремится к нулю, делается меньше любого наперед заданного числа, но 0 так и не достигает. Процесс изменения б.м.в. называется предельным процессом.

Обозначения б.м.в.: х 0 или limx = 0. Пределом б.м.в. является число 0, к которому оно подходит на сколь угодно близкое расстояние.

Предельный процесс можно организовать не только при подходе к 0, но и к любой точке а. Тогда б.м.в. является разность (х – а), т.е. lim(x – a) = 0 или limx = a(x a). Величина х в данном процессе имеет предел а, или стремится к а.

Предельный процесс носит точечный характер и является инструментом для локального изучения изменений переменной величины любого типа в окрестности любой её точки. Поэтому базовым типом переменной величины, который позволяет исследовать все остальные типы переменных величин, является б.м.в., участвующие в предельном процессе. Второе название математического анализа – “Исчисление бесконечно малых”.