27. Общие свойства функций

Определение. Переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому значению х соответствует определенное значение у.

Основные способы задания функций:

1. Табличный способ: .

2. Аналитический способ: y = f(x), y = x² (формула показывает, какие алгебраические действия надо совершить над х, чтобы получить соответствующее значение у).

3. Графический способ:

Определение. Функция имеет явную форму y = f(x), если зависимая переменная стоит слева в 1-ой степени и неявную форму, если х и у связаны более сложным образом.

Пример. у = х², у² + х² = R².

Обратная функция. Если идет процесс, связывающий несколько переменных, то выбор независимой переменной среди них может меняться.

Пример. Закон Ома имеет три равноправных формы: I = U/R, U = I  R, R = U/I.

Определение. Обратная функция х = f^–1(у) получается из прямой функции y = f(x), если в качестве аргумента взять у. Если y = f(x) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между X = D(f) и Y = E(f), то х = f^–1(у) выражает то же соответствие, причем Y = D(f^–1), X = E(f^–1).

Для перехода к обратной функции надо так преобразовать прямую функцию, чтобы аргумент х стоял слева в 1-ой степени.

Пример. .

Определение. Функция называется четной, если смена знака аргумента не меняет значения функции f(–x) = f(x) и нечетной, если смена знака аргумента меняет общий знак функции f(–x) = –f(x).

Пример. у = х² и у = х³.

Любую функцию можно представить как сумму четной и нечетной функций. График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной – антисимметричен.

Определение. Функция называется периодической, если при изменении аргумента на постоянную величину значение функции не меняется f(x + T) = f(x). Наименьшее значение Т называется периодом.

Пример. sin(x + 2 ) = sin(x). Период Т = 2 , полный поворот радиус-вектора.

28. Элементарные функции

Среди множества функциональных зависимостей особое место занимают элементарные функции.

Основные элементарные функции:

1. Постоянная y = c, c = constR.
2. Степенная y = xn, n R/{0}, D(f) зависит от n.
3. Показательная у = ax, a > 0, a 1, D(f) = (–,+), E(f) = (0,– ).
4. Логарифмическая y = logax, a > 0, a 1, D(f) = (0,+ ), E(f) = (–,+).
5. Тригонометрические y = sinx, y = cosx, D(f) = (–,+) E(f) = [–1,+1].
y = tgx, D(f) = R\{ /2 + k }, k = 1, 2, . . . , E(f) = (–,+).
y = ctgx, D(f) = R\{k }, k = 1, 2, . . . , E(f) = (–,+).
6. Обратные тригонометрические y = arcsinx, D(f) = [–1, +1], главное значение y [– /2, /2].
y = arccosx, D(f) = [–1, +1], главное значение y [0, ].
y = arctgx, D(f) = (–, +), главное значение y (– /2, /2).
y = arcctgx, D(f) = (–, +), главное значение y (0, ).

Определение. Функция называется сложной, если в качестве её аргумента используется другая функция.

Выражение y = f [gf(x)] называется сложной функцией (суперпозицией), y = f(u) – внешней функцией, u = g(x) – внутренней функцией, u – называется сложным аргументом, х – независимым аргументом.

Пример. y = 3lg(1+ x²) или y = 3lg(u), где u = 1 + x² – сложный аргумент.

Определение. Элементарными называются функции, записанные одной формулой и составленные из основных элементарных функций с помощью 4-х арифметических действий и операции суперпозиции.