4. Решение слау.

Решим систему

Перепишем её в матричном виде:

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

Возьмём и в качестве главных переменных. Тогда:

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: и .

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

а вектора составляют фундаментальную систему решений.

Формулы Крамера

Метод Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители:

Метод Гаусса.

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и , соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4:

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное Z

из первого, подставив полученные Z и X.

5. Действия над матрицами.

Сумма двух матриц:

Произведением числа m на матрицу:

Произведение AX:

Произведение двух матриц A и B:

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А(-1)

D = det A = = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M11 = = -5; M12 = = 1; M13 = = -1;

M21 = M22 = M23 =

M31 = M32 = M33 =

Далее:

A(-1) =

Cделаем проверку: A*(A-1) =

Находим матрицу Х.

Х = = (А-1)*В = = =

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

6) Линейные действия над векторами. Опр. Коллинеарности и компланарности векторов.

Коллинеарные - два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Компланарные - три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Линейные действия над векторами – сложение, умножение на число.

Сложение - Пусть даны два вектора   и  . Приложим вектор   к некоторой точке O, получим  . Приложим вектор   к точке A, получим  . Тогда вектор  будем называть суммой векторов:  .

Умножение на число - Произведением вектора   на число k называется вектор, который:

1. коллинеарен вектору  ;

2. сонаправлен ему, если k > 0, или противоположнонаправлен, если k < 0;

3. длины связаны следующим соотношением: