26. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пусть нам известно значение функции y₀=f(x₀) и ее производной y₀' = f '(x₀) в точке x₀. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x₀)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x₀), то f(x) – f(x₀)≈f'(x₀)·Δx.Откуда

f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·Δx

Примеры.

1. y = x² – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.

Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx.

f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.

Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.

27. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

1. Теорема. Ролля. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль g(a)=g(b)=0, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой производная g обращается в нуль g(c)=0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на [a,b], то она имеет на этом отрезке наибольшее (M) и наименьшее значение m. Пусть g(c) - наибольшее значение.

Отсюда 

g(c+x)  g(c) x  0,   x > 0

g(c+x)  g(c) x  0,   x < 0

Переходим к пределу и получаем одновременно g(с)  0 и g(с)  0, следовательно, g(с)=0.

Пример функции, для которой не выполняется условие теоремы, поэтому производная внутри отрезка в 0 не обращается 

y=1(x2)1/3

2. Теорема. Лагранжа. Если функция g(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой выполняется равенство 

   g(b)g(a)=g(c)(ba)

3. Доказательство. Применим теорему Ролля к функции 

   g(x)g(a)(xa)Q,

4. где 

   Q=(g(b)g(a))/(ba)

5. Теорема. Коши. Если функции g(x) и h(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем h(x)  0 внутри отрезка [a,b], то существует точка a < c < b в которой выполняется равенство 

   g(b)g(a) h(b)h(a) = g(c) h(c)

6. Доказательство. Применим теорему Ролля к функции 

   g(x)g(a)(h(x)h(a))Q,

7. где 

   Q=(g(b)g(a))/(h(b)h(a))

8. Теорема. Лопиталя. Пусть функции g(x) и h(x) на некотором отрезке [a,b] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0 в точке x=a, т.е. g(a)=h(a)=0, тогда если существует предел отношения g(x)/h(x) при x a, то существует и 

   lim x a  g(x)/h(x)

9. причем 

lim x a  g(x)/h(x)= lim x a  g(x)/h(x).