5.Предел ф-ии

Предел ф-ии (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

6.Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Последовательность an называется бесконечно большой, если

7.Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность an называется бесконечно малой, если

8.Правило предельного перехода

Правило 1. Если функция f непрерывна в точке x0, то Δf→0 при Δx→0.        Правило 2. Если функция f имеет производную в точке х0, то Δf/Δx→f'(x0) при Δx→0.        Правила 1 и 2 сразу следуют из определений непрерывности функции f в точке х0 и производной в точке x0.        Правило 3. Пусть f (x)→A, g{x)→B при x→x0. Тогда при х→x0 (т. е. при Δx→0):  а) f(x) + g(x)→A + B;  б) f(x)•g(x)→A•B;  в) f(x)/g(x)→A/B (при B≠0).       Для непрерывных функций f u g  А = f (х0), В = g (х0) и эти правила означают, что сумма, произведение и частное непрерывных в точке хо функций непрерывны в точке х0 (частное в случае, когда g(x0)≠0).        Правила предельного перехода широко используются при доказательстве непрерывности функций и выводе формул дифференцирования.

9.Признак существования предела функции. Первый замечательный предел

Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между двумя функциями  (x) и  (x), имеющими одинаковый предел А при x  a, то есть  (x)  f(x)   (x) и 

 Тогда функция f(x) имеет тот же предел: 

 Функция f (x) называется возрастающей на данном множестве X, если f(x₁)<f(x₂) для x₁< x₂ (x₁, x₂  X).

 Функция f(x) называется убывающей на множестве X, если f( ) > f(x₂) для x₁< x₂ (x₁, x₂  X).

 Возрастающая или убывающая функция называется монотонной на данном множестве X.

 Если f( )  f( ) для x₁< x₂, то f(x) называют неубывающей, а если f(x₁)  f(x₂) для x₁< x₂ – не возрастающей. И в этом случае функцию называют монотонной.

 Теорема. Пусть функция f(x) монотонна и ограничена при x a (или при x  a). Тогда существует соответственно   (или  ).

Первый замечательный предел.

10. Признак существования предела последовательности. Второй замечательный предел

Критерий Коши:Для существования предела последовательности {Xn}, необходимо и достаточно, чтобы для любого эпсилон>0 существовало N=N(эпсилон) такое, что для всех n>N и p>0,  |Xn-X(n+p)|<эпсилон.

Второй замечательный предел

11.Непрерывность ф-ии

Ф-яf(x) называется непрерывной при x = E, если

1) Эта ф-я определена в точке E, т.е. существует число f(E)

2) Существует конечный предел limf(x)

3) Этот предел равен значению ф-ии в точкеE, т.е. x -> E.

12.Действия над непрерывными ф-ми

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х0. Тогда функции f (x) ± g (x), f (x)·g (x) и f (x) : g (x) также непрерывны в этой точке

13.Точки разрыва

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.