- •2.Понятие функции. Способы задания функции
- •3.Типы ф-й
- •4.Основные свойства функций.
- •6) Ограниченная и неограниченная функции.
- •7) Периодическость функции.
- •5.Предел ф-ии
- •8.Правило предельного перехода
- •9.Признак существования предела функции. Первый замечательный предел
- •14. Сравнение бесконечно малых величин
- •15. Сравнение бесконечно больших величин
- •16. Производная и ее геометрический смысл.
- •17.Уравнение касательной и нормали к линии.
- •18. Правила дифференцирования
- •19.Производные сложной и обратной функции
- •Доказательство
- •Доказательство
- •20. Производные основных элементарных функций
- •22.Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •23.Производные высших порядков
- •24.Дифференциал функции и его геометрический смысл
- •25. Дифференцируемость функции
- •26. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •27. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •28. Правило Лопиталя
- •29. Интервалы монотонности функции
- •30. Экстремумы функции
- •35.Асимптоты графика функции
- •36.Формула Тейлора
- •Формула тейлора
- •Остаточный член формулы тейлора
Y
2.Понятие функции. Способы задания функции 2
3.Типы ф-й 2
4.Основные свойства функций. 3
5.Предел ф-ии 4
8.Правило предельного перехода 4
9.Признак существования предела функции. Первый замечательный предел 5
10. Признак существования предела последовательности. Второй замечательный предел 5
11.Непрерывность ф-ии 5
12.Действия над непрерывными ф-ми 6
13.Точки разрыва 6
14. Сравнение бесконечно малых величин 6
15. Сравнение бесконечно больших величин 6
16. Производная и ее геометрический смысл. 7
17.Уравнение касательной и нормали к линии. 8
18. Правила дифференцирования 8
19.Производные сложной и обратной функции 9
20. Производные основных элементарных функций 11
21.Логарифмическое дифференцирование 11
22.Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций 12
23.Производные высших порядков 13
24.Дифференциал функции и его геометрический смысл 16
25. Дифференцируемость функции 18
26. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 19
27. Основные теоремы о дифференцируемых функциях 20
28. Правило Лопиталя 21
29. Интервалы монотонности функции 22
30. Экстремумы функции 22
31. Второй достаточный признак экстремума. 23
32. Наибольшее и наименьшее значение функции в интервале 23
33.Интервалы выпуклости и вогнутости 23
34.Точки перегиба 23
35.Асимптоты графика функции 24
36.Формула Тейлора 24
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 24
ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА 24
1.Вещественные или Действительные числа – это рациональные и иррациональные числа. Под абсолютной величиной действ.числа aпонимается неотрицательное число |a|, опр. Условиями: |a| = а, если а >=0, и |a| = -a, если a<0. Для любых действ. Чисел aи bсправедливо неравенство:
|a=b| <= |a| + |b|
2.Понятие функции. Способы задания функции
Переменная у называется функцией переменной х, если каждому значению х поставлено в соответствии по определённому закону единственное значение у.
1. Аналитический способ.
Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции.
Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у.
2. Графическийспособ.
При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом .
3. Словесный способ.
Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.
«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».
4. Табличныйспособ.
Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.
3.Типы ф-й
1. Сложная
Сложная функция - это функция от функции
2.Неявная
Неявные функции - это функции, заданные уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной.
3. Обратная
Если уравнение y=f(x) может быть однозначно разрешено относительного переменного x (т.е. сущ. Ф-я x=g(y) такая, что y=f[g(y)]), то ф-я x=g(y) –обратная по отношению к y=f(x).
4.Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции.
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.
2) Нули функции.
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции.
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции.
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции.
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции.
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).