Доверительный интервал для вероятности

Пусть случайная величина Х имеет только два возможных значения: 0 и 1. В результате проведения достаточно большого количества наблюдений эта случайная величина приняла единичное значение т раз. Необходимо при заданной надежности 1–  определить доверительный интервал для вероятности р, оценка которой соответствует частоте h = т/п.

Оценка h вероятности р является состоятельной, эффективной и несмещенной. Если оцениваемая вероятность не слишком мала и не слишком велика (0,05< p <0,95), то можно считать, что распределение случайной величины h близко к нормальному. Этим допущением можно пользоваться, если пр и п(1–р) больше четырех. Параметры нормального распределения частоты т₁ = р, т₂ = р(1–р)/п (дисперсия  ₂ (m) количества успехов т составляет величину пр(1–р), а дисперсия частоты  ₂(m)/п²). Тогда по аналогии с определением доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной величины h можно записать

Е = |h– p| = u _{1–  /2}( ₂(т) )^0,5 = u_{1–  /2}(р(1–р)/п)^0,5,

где u _{1–  /2} – квантиль стандартизованного нормального распределения.

Чтобы связать доверительный интервал с исходными параметрами n, h и u_{1–  /2}, возведем выражение для Е в квадрат, т. е. преобразуем равенство к виду (h–p)²=u²_{1–  /2}(1–p)p/п. Доверительные границы можно получить, решив это уравнение второй степени

p _{2, 1} ={nh + 0,5u²_{1–  /2}  u_{1–  /2} [nh(1–h) + 0,25u²_{1–  /2}]^0,5}/(п + u²_{1–  /2}).