Бинарное дерево поиска. Удаление элемента

На рис.1 приведена структура БДП, а на рис.2 – структура отдельного узла дерева. На рис.2 поле Inf – информационное поле, поле Left – указатель на «потомка» слева, Right – указатель на «потомка» справа. Стоит отметить, что в БДП не может быть одинаковых ключей.

Рис.1 Рис.2

left

inf

right

Структура БДП:

type

point = ^element; {указатель в списке }

element = record {элемент списка }

inf: integer; {информационная часть }

left, right: point {указатели на «потомков»}

end;

Удаление элемента:

При удалении сначала осуществляется поиск удаляемой вершины. При этом возможны три случая:

• Удаляемый элемент лист. В этом случае узел просто удаляется.

• Узел имеет одного сына. Тогда родительскому указателю присваивается значение сына, а сам элемент удаляется из памяти.

• Узел имеет двух сыновей. В этом случае в левом поддереве ищем самый правый узел (узел r), его ключ присваиваем полю inf удаляемого узла. Правой ссылке родительского узла элемента R присваиваем значение левой ссылки элемента r и удаляем из памяти узел R. Или в правом поддереве ищем самый левый узел (узел L), его ключ присваиваем полю inf удаляемого узла. Левой ссылке родительского узла элемента L присваиваем значение правой ссылки элемента L и удаляем из памяти узел L.

На PASCAL это выглядит следующим образом:

procedure DeleteNode (x:integer; var p:point);

var

q:point;

procedure Del (var r:point);

begin

if r^.right=nil then

begin

q^.inf:=r^.inf;

q:=r;

r:=r^.left;

end

else Del(r^.right);

end;

begin

if p=nil then

begin

writeln('Удаление. Элемент',x,'не найден');

readkey;

end

else

if x<p^.inf then DeleteNode(x, p^.left)

else

if x>p^.inf then DeleteNode(x, p^.right)

else

begin

q:=p;

if q^.right=nil then p:=q^.left

else

if q^.left=nil then p:=q^.right

else Del(q^.left);

dispose(q);

writeln('Удаление. Элемент ',x,' успешно удалён');

readkey;

end;

end;

АВЛ – дерево. Построение и поиск элемента

АВЛ – бинарное дерево, для любой вершины которого разность высот левого и правого поддеревьев не превышает единицы (Сбалансированные по высоте деревья).

Построение:

Пусть даны ключи в последовательности 4, 5, 7, 2, 1, 3, 6 тогда построение такое:

Построение выполняется путём балансировки дерева.

Поиск:

Нужная вершина в дереве ищется по ключу.

Пусть построено некоторое дерево и требуется найти звено с ключом X. Сначала сравниваем с X ключ, находящийся в корне дерева. В случае равенства поиск закончен и нужно возвратить указатель на корень в качестве результата поиска. В противном случае переходим к рассмотрению вершины, которая находится слева внизу, если ключ X меньше только что рассмотренного, или справа внизу, если ключ X больше только что рассмотренного. Сравниваем ключ X с ключом, содержащимся в этой вершине, и т.д. Процесс завершается в одном из двух случаев:

1. Найдена вершина, содержащая ключ, равный ключу X;

2. В дереве отсутствует вершина, к которой нужно перейти для выполнения очередного шага поиска.

В первом случае возвращается указатель на найденную вершину.

АВЛ – дерево. Удаление элемента

АВЛ – бинарное дерево, для любой вершины которого разность высот левого и правого поддеревьев не превышает единицы (Сбалансированные по высоте деревья).

Удаление:

При удалении сначала осуществляется поиск удаляемой вершины. Возможны следующие случаи:

1. Удаляемый элемент лист. В этом случае узел просто удаляется, производим балансировку дерева.

2. Узел имеет двух сыновей. В этом случае в левом поддереве ищем самый правый узел (узел r), его ключ присваиваем полю inf удаляемого узла. Правой ссылке родительского узла элемента r присваиваем значение левой ссылки элемента r и удаляем из памяти узел r., балансируем дерево.

В – дерево. Построение и поиск элемента

Механизм классических B-деревьев был предложен в 1970 г. Бэйером и МакКрейтом. B-дерево порядка n представляет собой совокупность иерархически связанных страниц внешней памяти (каждая вершина дерева – страница), обладающая следующими свойствами:

1. Каждая страница содержит не более 2*n элементов (записей с ключом).

2. Каждая страница, кроме корневой, содержит не менее n элементов.

3. Если внутренняя (не листовая) вершина B-дерева содержит m ключей, то у нее имеется m+1 страниц-потомков.

4. Все листовые страницы находятся на одном уровне.

Пример B-дерева степени 2 глубины 3 приведен на рисунке:

Классическое B-дерево порядка 2

Поиск:

Предположим, что происходит поиск ключа K. В основную память считывается корневая страница B-дерева. Предположим, что она содержит ключи k1, k2, ..., km и ссылки на страницы p0, p1, ..., pm. В ней последовательно (или с помощью какого-либо другого метода поиска в основной памяти) ищется ключ K. Если он обнаруживается, поиск завершен. Возможны три ситуации:

1. Если в считанной странице обнаруживается пара ключей ki и k(i+1) такая, что ki < K < k(i+1), то поиск продолжается на странице pi.

2. Если обнаруживается, что K > km, то поиск продолжается на странице pm.

3. Если обнаруживается, что K < k1, то поиск продолжается на странице p0.

Для внутренних страниц поиск продолжается аналогичным образом, пока либо не будет найден ключ K, либо мы не дойдем до листовой страницы. Если ключ не находится и в листовой странице, значит ключ K в B-дереве отсутствует.

В – дерево. Удаление элемента

B-дерево порядка n представляет собой совокупность иерархически связанных страниц внешней памяти (каждая вершина дерева - страница), обладающая следующими свойствами:

Каждая страница содержит не более 2*n элементов (записей с ключом).

Каждая страница, кроме корневой, содержит не менее n элементов.

Если внутренняя (не листовая) вершина B-дерева содержит m ключей, то у нее имеется m+1 страниц-потомков.

Все листовые страницы находятся на одном уровне.

Пример B-дерева степени 2 глубины 3 приведен на рисунке:

Классическое B-дерево порядка 2

Удаление элемента:

Различают два случая - удаление ключа из листовой страницы и удаления ключа из внутренней страницы B-дерева. В первом случае удаление производится просто: ключ просто исключается из списка ключей. При удалении ключа во втором случае для сохранения корректной структуры B-дерева его необходимо заменить на минимальный ключ листовой страницы, к которой ведет последовательность ссылок, начиная от правой ссылки от ключа K (это минимальный содержащийся в дереве ключ, значение которого больше значения K). Тем самым, этот ключ будет изъят из листовой страницы

Начальный вид B-дерева

B-дерево после удаления ключа 25

Поскольку в любом случае в одной из листовых страниц число ключей уменьшается на единицу, может нарушиться требование, что любая, кроме корневой, страница B-дерева должна содержать не меньше n ключей. Если это случается, начинает работать процедура переливания ключей. Берется одна из соседних листовых страниц (с общей страницей-предком); ключи, содержащиеся в этих страницах, а также средний ключ страницы-предка поровну распределяются между листовыми страницами, и новый средний ключ заменяет тот, который был заимствован у страницы-предка.

Результат удаления ключа 38 из B-дерева

Может оказаться, что ни одна из соседних страниц непригодна для переливания, поскольку содержат по n ключей. Тогда выполняется процедура слияния соседних листовых страниц. К 2*n-1 ключам соседних листовых страниц добавляется средний ключ из страницы-предка (из страницы-предка он изымается), и все эти ключи формируют новое содержимое исходной листовой страницы. Поскольку в странице-предке число ключей уменьшилось на единицу, может оказаться, что число элементов в ней стало меньше n, и тогда на этом уровне выполняется процедура переливания, а возможно, и слияния. Так может продолжаться до внутренних страниц, находящихся непосредственно под корнем B-дерева. Если таких страниц всего две, и они сливаются, то единственная общая страница образует новый корень. Высота дерева уменьшается на единицу, но по-прежнему длина пути до любого листа одна и та же. Начальный вид B-дерева

B-дерево после удаления ключа 29