Электромагнитные волны, оптика

1. Световые волны в прозрачной изотропной среде.

Волновые уравнения для светового поля.

Уравнения Максвелла

1.

2.

3.

4.

D =εE,

В =μH.

рассмотрим при условиях: , , .

Из ротора второго уравнения с учетом четвертого получим

.

С другой стороны для любого векторного поля

.

Учитывая, что из (1) divD=0 ->divE=0

Откуда получаем волновое уравнение для поля

где — скорость волны.

— определение показателя преломления .

Следовательно .

Частные решения волнового уравнения.

Разделение временной и пространственных переменных решения волнового уравнения

.

Пусть

,

подставим в волновое уравнение для A и разделим уравнение на RT, тогда одно слагаемое зависит только от , а другое — только от t. Следовательно, каждое из двух слагаемых равно константе, которую обозначим за .

Тогда для функции координат получим

— уравнение Гельмгольца, а для функции времени

— уравнение гармонических колебаний,

где .

Разделение переменных решения уравнения Гельмгольца в декартовых координатах, пусть

.

Подставим это решение в уравнение Гельмгольца и разделим его на произведение XYZ. При этом слагаемые уравнения окажутся функциями разных переменных и, следовательно, каждое слагаемое — константа:

, , ,

где .

Решения для X, Y, Z — гармонические колебания от x, y, z.

Подставляя решения для X, Y, Z в R, а затем решения для R и T в A, получаем — решение в комплексной форме в виде плоских волн

.

Разделение переменных в других системах координат приводит к другим решениям. Среди множества решений в цилиндрической системе координат отметим решение в виде цилиндрической волны

,

Где

— функция Бесселя с целым значком

Среди множества решений в сферической системе координат отметим решение в виде сферической волны

.

Параметры плоской волны.

— амплитуда волны,

— начальная фаза волны,

— комплексная амплитуда волны,

T — период, — частота, — циклическая частота волны,

— фазовая скорость волны,

λ — длина волны, k — волновое число, — волновой вектор,

, , — циклические пространственные частоты волны,

— фаза волны.

Фазовая скорость.

Рассмотрим плоскую волну, и направим ось z вдоль вектора .

Тогда

, => — фаза волны.

Тогда

— уравнение постоянной фазы. Поскольку в это уравнение входит в качестве параметра время t, то это уравнение — уравнение движения поверхности постоянной фазы, движения фазовой поверхности.

Продифференцируем это уравнение по времени и получим

откуда

,

где

— фазовая скорость волны.

Групповая скорость.

Рассмотрим две волны некоторой физической переменной A с разными, но близкими частотами, бегущие вдоль оси z

.

Введем обозначения

,

тогда

,

где можно рассматривать, как медленно меняющуюся амплитуду суммарной волны.

Для огибающей (или амплитуды) волны уравнение постоянной фазы примет следующий вид

.

Дифференцируя это уравнение по времени, получаем

и, следовательно,

.

Окончательно,

— групповая скорость волны, сравните с фазовой скоростью волны

.