Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.

Пусть  -- -мерное линейное пространство, и  -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть  -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

        Предложение 19.1   Пусть  -- линейное преобразование пространства , и  -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда

        Доказательство.     Пусть  -- произвольный вектор пространства ,  -- его образ, то есть . Пусть и  -- координатные столбцы векторов и в старом базисе, а ,  -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) . По  предложению 18.5 имеем , . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем . Откуда . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем .     

        Определение 19.2   Две квадратных матрицы и одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , что .         

        Следствие 19.1   Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.

30

Напомним, что в евклидовом пространстве определено скалярное произведение векторов

Определение. Если существует такой оператор B, что для любых и из евклидова пространства E справедливо , то оператор B называется сопряженным оператором к оператору A и обозначается A*:

Теорема. Если A — линейный оператор в евклидовом пространстве E и A — его матрица в некотором ортонормированном базисе в E, то у оператора есть единственный сопряженный оператор, причем матрица сопряженного оператора в том же базисе — это матрица A^T.

Теорема доказана на лекции.

Пример. Рассмотрим оператор U поворота пространства R² на угол    относительно начала координат против часовой стрелки:

Т.е. оператор, сопряженный оператору поворота пространства R² на угол  относительно начала координат против часовой стрелки — оператор поворота пространства R² на угол -  относительно начала координат против часовой стрелки.

Матрицы операторов поворота на угол    и угол -   имеют, соответственно, вид:

Видно, что

Нетрудно доказать (на лекции доказано) следующие свойства сопряженного оператора:

• что сопряженный к линейному оператру — линейный оператор;

• 

• 

• 

• характеристические многочлены операторов и

совпадают.

5.3.2. Самосопряженный оператор

Определение. Если линейный оператор A, действующий в евклидовом пространсте E, таков, что для любых и из E справедливо , то оператор A называется самосопряженным оператором.

Пример. Оператор P₂ — оператор проектирования пространства R³ на подпространство R² параллельно вектору : .

Как показано выше, матрица оператора P₂ в естественном ортонормированном базисе

Имеет вид

Тогда

т.е. — оператор P₂ — самосопряженный оператор.

Видно, что матрица P₂ оператора P₂ — симметричная матрица.

Нетрудно доказать следующие свойства самосопряженного оператора:

• сумма самосопряженных операторов — самосопряженный оператор;

• если оператор A самосопряженный оператор, то оператор — тоже самосопряженный оператор ( — действительное число).

5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора

Можно показать (на лекции не доказывается), что у самосопряженного оператора существует собственный ортонормированный базис.

Поскольку A=A*, то матрица самосопряженного оператора — симметричная матрица. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Матрица самосопряженного оператора в собственном базисе имеет диагональную форму.

Ясно, что для того чтобы привести матрицу самосопряженного оператор к диагональному виду нужно найти собственные значения оператора и диагональную матрицу, на диагонали которой расположены собственные значения матрицы.

Если нужно записать выражение для приведения матрицы к этой диагональной форме, то нужно еще найти собственные векторы матрицы, записать матрицу C перехода к собственному базису (матрицу, столбцами которой являются координаты собственных векторов оператора), найти обратную к ней матрицу С^-1 и тогда — равенство, связывающее диагональну форму матрицы оператора в собственном базисе с матрицей A оператора в заданном базисе.