25. Криволинейные интегралы 1-го рода.
Рассмотрим
спрямляемую (т.е. имеющую длину)
кривую AB на
плоскости (A, B –
точки плоскости). Для простоты, считаем
что эта кривая задана параметрически 
,
причем 
–
непрерывно дифференцируемые на отрезке
функции такие, что каждому значению
параметра соответствует единственная
точка кривой.
Тогда
длина кривой выражается формулой 
.
Под разбиением
T кривой AB будем
понимать множество точек 
,
лежащих на этой кривой и занумерованных
в направлении от A к B.
Пусть 
-
длина кривой 
.
Диаметр d(T)
определим как 
.
Пусть
функция 
определена
на кривой AB.
Выберем на каждом участке 
кривой
точку 
и
образуем сумму 
,
называемую интегральной.
Определение. Пусть 
.
Если 
,
то величина I называется криволинейным
интегралом первого типа по кривой AB и
обозначается так: 
.
Важное
замечание. Если
бы мы совершали движение по кривой не
от A к B,
а от B к A,
то в разбиении T с
выбранными точками 
изменилась
бы только
нумерация отрезков
и точек
,
а сама интегральная сумма не
изменилась бы,
поскольку в ее определении фигурирует лишь
длина
участка,
которая не зависит от того, в каком
направлении проходится участок. Это
означает, что 
.
В этом важнейшее отличие от обычного определенного интеграла, который менял бы знак при изменении направления обхода кривой.
Сформулируем теорему, сводящую новый пока объект – криволинейный интеграл к обычному определенному интегралу.
Теорема. Пусть 
-
непрерывная на кривой AB функция
(т.е. 
-
точек кривой таких, что расстояние
между 
меньше 
).
Пусть кривая ABпараметризована
так: 
, где 
-
непрерывные на 
функции,
причем каждому значению параметра
соответствует единственная точка
кривой. Тогда
.
26.Свойства криволинейных интегралов 1-го рода
Свойства
1. Линейность:
2.
Аддитивность: если 
в
одной точке, то
3.
Монотонность: если 
на l,
то
4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль l функции f:
Очевидно,
что: 
.
5.
Изменение направления обхода кривой
интегрирования не влияет на знак
интеграла: 
.
6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
27. Криволинейный интеграл второго рода.Его свойства.
Криволинейный интеграл второго рода.
Вновь
рассмотрим кривую L, в каждой точке
которой задана функция f(M), и зададим
разбиение кривой на отрезки. Выберем
на каждом отрезке точку Mi и умножим
значе-ние функции в этой точке не на
длину i-го отрезка, как в случае
криволинейного инте-грала 1-го рода, а
на проекцию этого отрезка, скажем, на
ось Ох, то есть на разность xi
– xi-1 = Δxi. Составим из полученных
произведений интегральную сумму 
.
Определение
10.2. Если существует конечный предел
при 
интегральной
суммы
,
не зависящий от способа разбиения кривой
на отрезки и выбора точек Mi, то от
называется криволинейным интегралом
второго рода от функции f(M) по кривой L
и обозначается
.
(10.5)
Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида
Определение 10.3. Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),
Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы
,
то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают
.
(10.6)
Замечание.
Если считать, что сила 
действует
на точку, движущуюся по кривой (АВ), то
работа этой силы может быть представлена
как
,
то есть криволинейным интегралом 2-го рода.
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.
Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).
При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:
(10.7)
Действительно, при этом изменяется знак Δxi в интегральной сумме.
Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.
Теорема 10.1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,
где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (10.5) существует и имеет место равенство
.
(10.8)
Доказательство.
Запишем Δxi = xi – xi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа: φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некоторое значение t, заключенное между ti-1 и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному τi : Mi(φ(τi), ψ(τi), χ(τi)). Подставив эти значения в формулу (10.5), получим:
.
Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α, β], равный определенному интегралу от этой функции:
,
что и требовалось доказать.
Следствие.
Аналогичные соотношения можно получить
для криволинейных интегра-лов вида 
,
откуда следует, что
