20. См вопрос 19.
21, 22. Понятие двойного интеграла. Свойства двойного интеграла
Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного
интеграла на двумерный случай. Вместо функции одной переменной
yf=x0, определенной на отрезке [a, b] здесь мы будем рассматривать функцию двух переменных zf= x y определенную на некоторой ограниченной области D декартовой плоскости OXY. На область D будем накладывать ряд требований.
Прежде всего, потребуем, чтобы область D обладала конечной площадью. Например, площадь определена для такой области D, граница (D) которой составлена из конечного числа графиков непрерывных функций y =i (x) или x =j(y). Далее такие кривые, для удобства, будем называть хорошими. Площадь области D будем обозначить через│D│. Замыканием D области D назовем объединение области и её границы: D= DD0.
Будем считать, что для всех точек (x, y) D определена и непрерывна функция (x,y).
Рассмотрим разбиение Т области D на подобласти D1, D2, ..., Dn, удовлетворяющие свойствам (рис.1):
1) объединение подобластей Di полностью покрывает область D;
2) подобласти Di могут пересекаться только по своим граничным точкам;
3) границы( Di) подобластей Di представляют собой хорошие кривые, т.е. определены их площади │Di│
23. Вычисление двойного интеграла.
Формула (7.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (7.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции ƒ(х; у) по области D.
При
этом
называется внутренним интегралом.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.
24. Понятие тройного интеграла и его свойства.
Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый «тройной интеграл».
Теория
тройного интеграла аналогична теории
двойного интеграла. Поэтому изложим ее
в несколько сокращенном виде.Пусть в
замкнутой области V пространства Oxyz
задана непрерывная функция u=ƒ(х;у;z).
Разбив область V сеткой поверхностей
на n частей
и
выбрав в каждой из них произвольную
точку Мi(хi;yi;zi),
составим интегральную суммудля функции
ƒ(х; у; z) по
области
V (здесь ∆Vi -
объем
элементарной
области Vi).
Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая «элементарная область» Vi стягивается в точку (т. е. диаметр области di стремится к нулю, т. е. di-> 0), то его называют тройным интегралом от функции u=ƒ(х;у;z) по области V и обозначают
Таким образом, по определению, имеем:
Здесь dv=dx dy dz - элемент объема.
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:
1.
2.
3.
если
V=V1V2,
а пересечение V1 и V2 состоит
из границы, их разделяющей.
4.
если
в области V функция f(x;y;z)>=0. Если в
области интегрирования ƒ(х;у;z)>=(x;y;z),
то и
5
.
,
так как в случае
любая
интегральная сумма имеет вид
и
численно равна объему тела.
6. Оценка тройного интеграла:
где m и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x;y;z) в области V.
7. Теорема о среднем значении: если функция f(x;y;z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка Mo(xo;yo;zo), что
где V - объем тела.