Тема 3.

1.1. Производной функции y=f(x) в точке х₀ называется если он существует.

1.2. Правой производной функции f(x) в данной точке х₀ называется если он существует.

1.3. Левой производной функции f(x) в данной точке х₀ называется если он существует.

1.4. Производной вектор-функции r=r(t) в т. t называется если он существует.

1.5. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в т. Х₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде , где . (???????? ОТКУДА)

1.6. Функция называется дифференцируемой на множестве Х, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

1.7. Если , то прямая , называемая касательной к графику функции , причем называется углом наклона касательной к данному графику. (ОТКУДА?????????????)

1.8. Дифференциалом (или 1 дифференциалом) функции в т. Х₀ (дифференцируема в этой точке) называется функция аргумента : dy=f’(x₀) x.

1.9. Если функция имеет (n-1) производную в окрестности т. Х₀ и если (n-1) производная имеет производную в т. Х₀, то эта производная называется n-й производной.

1.10. Функция y=f(x) называется n-раз дифференцируемой в данной точке х₀, если она имеет n-ю производную в данной т. Х₀.

1.11. Бесконечно дифференцируемой функцией f(x) в данной т. называется функция, имеющая в этой точке производные всех порядков.

1.12. n-ая производная вектор-функции r=r(t) называется производная вида

1.13. n-ый дифференциал функции в данной т. х₀ определяется как дифференциал функции при следующих условиях: 1)dy рассматривается как функция только независимой переменной х; 2) приращение независимой переменной х при вычислении дифференциала от f’(x) считается равным первоначальному приращению аргумента.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ.

2.1. Достаточное условие существования касательной к графику функции . Чтобы существовала касательная к графику функции достаточно, чтобы существовала производная функции .

2.2. Теорема о производных (+), (-), (*), (/) двух функций. Если U(x) и V(x) имеют производные в точке х₀, то (+), (-), (*), (/) этих функций (частное при условии V(x) 0) также имеют производные в т. х₀, причем в т. х₀ справедливы равенства: (U+V)’=U’+V’; (U-V)’=U’-V’; (UV)’=U’V+UV’; (U/V)’=(U’V-UV’)/V².

2.3. Теорема о производной сложной функции. Если ф-я имеет в т. х₀ производную , а ф-я имеет в т. производную , то сложная ф-я имеет производную в х₀, причем .

2.4. Теорема о производной обратной функции. Если функция строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки х₀, имеет производную в т. х₀ и , которая определена в некоторой окрестности т. и имеет производную в т. , причем .

2.5. Формулы дифференциалов (+), (-), (*), (/) двух функций. d(U+V)=dU+dV; d(U-V)=dU-dV; d(UV)=VdU+UdV; d(U/V)=(VdU-UdV)/V².

2.6. Формула для производной функции, заданной параметрически. - имеют производные , то также имеет производную: t= .

2.7. Формула n-ой производной произведения двух функций. (U

Тема 4.

1.1. Функция F(x) называется первообразной данной функции f(x) на промежутке Х, если F’(x)=f(x) ∀х . [Функция F(x) называется первообразной данной функции f(x) на сегменте [a;b], если F(x) непрерывна на [a;b] и F’(x)=f(x) в точках непрерывности f(x).]

1.2. Неопределенным интегралом на данном от функции f(x) промежутке Х называется совокупность всех первообразных для функции f(x).

1.3. Интегральной суммой функции f(x), соответствующей данному разбиению Т сегмента [a;b] и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах [ называется число I{ , где I{ . [ ]

1.4. Пределом интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к 0 называется число I{ , такое что для ∀ положительного числа можно указать такое положительное число , что для любого разбиения Т сегмента [a;b], максимальная длина разбиения частичных сегментов которого < , независимо от от выбора точек на сегментах выполняется неравенство | I{ . [обозначается ]

1.5. Определенный интеграл от функции f(x) по сегменту [a;b]. Функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на сегменте [a;b], если . [ ]. При этом число I называется определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [a;b] и обозначается так:

1.6. Нижней суммой Дарбу, соответствующей данному разбиению Т[a;b], называется выражение , где для произвольного разбиения Т[a;b], а f(x) определена и ограничена на [a;b].

1.7. Верхней суммой Дарбу, соответствующей данному разбиению Т[a;b], называется выражение , где для произвольного разбиения Т[a;b], а f(x) определена и ограничена на [a;b].

1.8. Верхним и нижним интегралами Дарбу называются соответственно числа Где {s} и {S} – множества всевозможных нижних и верхних сумм для любых разбиений [a;b]. (?????????????????????)

1.9. Верхний и нижний интегралы Дарбу от функции f(x) по сегменту [a;b] являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при . (Лемма Дарбу) . (

ТЕОРЕМЫ.

2.1. Интегрирование по частям. Пусть на промежутке Х функции U(x) и V(x) дифференцируемы и (т.е. функция V(x)U’(x) имеет первообразную на Х). Тогда на Х и .

2.2.Метод замены переменной. Пусть функция определена и дифференцируема на промежутке Т, а промежуток Х-множество ее значений. Пусть функция определена на Х и имеет на этом промежутке первообразную F(x). Тогда на промежутке Т функция является первообразной для функции Тогда

2.3. Свойства сумм Дарбу. 1. Для любого фиксированного разбиения ; 2) Если разбиение Т₂ получено из разбиения Т₁ добавлением нескольких новых точек (т.е. получено измельчением Т₁), то нижняя сумма s₂ разбиения Т₂ не меньше нижней суммы s₁ разбиения Т₁, а верхняя сумма S₂ разбиения Т₂ не больше верхней S₁ разбиения Т₁: s1 . 3) Нижняя сумма произвольного разбиения не превосходит верхней суммы любого другого разбиения. 4) Верхним и нижним интегралами Дарбу называются соответственно числа Где {s} и {S} – множества всевозможных нижних и верхних сумм для любых разбиений [a;b]. . 5)Лемма Дарбу: . ( . (?????????))

2.4. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте (интегралы). Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a;b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте необходимо и достаточно, чтобы .

2.5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте (суммы). Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a;b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте необходимо и достаточно, чтобы ∀ нашлось такое разбиение Т[a;b] (хотя бы одно), для которого – колебание функции на сегменте .

2.6. Некоторые классы интегрируемых функций. 1) Непрерывная на сегменте [a;b] функция f(x) интегрируемая на этом сегменте.[ всякая элементарная функция интегрируема на любом сегменте, целиком лежащем в области определения этой функции (т.к. она непрерывна на этом сегменте)] 2) Пусть функция f(x) ограничена на сегменте [a;b]. Если существует конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва f(x) и имеющих сумму длин < , то f(x) интегрируема на сегменте [a;b]( кусочно непрерывная функция (имеющая на сегменте [a;b] конечное число точек разрыва 1 рода) интегрируема на этом сегменте). 3) Монотонная на сегменте [a;b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.

2.7. Свойства определенного интеграла. 1) По определению: 2) По определению: ; 3) Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b] -любые вещественные числа, то функция также интегрируема на [a;b], причем: ; 4)Если f(x) интегрируема на [a;b], то функция |f(x)| также интегрируема на [a;b], причем ; 5) Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b], то функция f(x)g(x) также интегрируема на [a;b]; 6) Если f(x) интегрируема на [a;b], то она интегрируема также на любом отрезке 7) Аддитивность интеграла. Если f(x) интегрируема на [a;c] и [c;d], то она интегрируема также на [a;d], причем . При этом точка с может быть произвольно расположена относительно а и в. 8) Если f(x) интегрируема на [a;b] и то ; 9)Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b] и . 10) Если f(x) непрерывна на [a;b], f(x)

2.8. Формулы среднего значения. Пусть f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b], ;[ ; 2) если выполнены условия теоремы и функция f(x) непрерывна, то 3) Если f(x) непрерывна на [a;b], то такое, что .

2.9. Формула Ньютона-Лейбница. Для кусочно непрерывных функций справедлива формула Ньютона-Лейбница , где F(x) – первообразная функции f(x) на [a;b] в смысле расширенного определения. (ДОСТАТ. УСЛОВИЯ??????)

2.10. Формула замены переменной. Пусть: 1)f(x) определена и непрерывна на [a;b]; 2) x=g(t) определена и непрерывна вместе с производной на [ , где g( Тогда . (ДОСТАТ. УСЛОВИЯ??????)

2.11. Интегрирование по частям определенного интеграла. Если f(x) и g(x) имеют непрерывные производные на [a;b], то (ДОСТАТ. УСЛОВИЯ??????)