8. Инварианты проецирования

1. Проекция точки на плоскость есть точка

2. Проекция прямой в общем случае прямая, она вырождается в точку, если прямая параллельна направлению проецирования:

3. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии

Следствие из пп. 2 и 3. Для построения проекции прямой достаточно построить проекции двух принадлежащих ей точек

4. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения их проекций

5. Проекции параллельных прямых параллельны

Следствия:

1) отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций

2) если точка, принадлежащая отрезку прямой, делит его в некотором отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении

6. Если геометрическая фигура Ф принадлежит плоскости, параллельной плоскости проекций (например, П1), то проекция этой фигуры на плоскость П1 конгруэнтна самой фигуре:

9. Кривая

Кривая линия - это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по-разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей, как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством и т.д.

Например циклоида – траектория движения точки окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Эта кривая состоит их ряда «арок», каждая из которых соответствует полному обороту окружности.

Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, остальные пространственными.

Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.

Кривая линия, представленная в декартовых координатах уравнением n- й степени, называется алгебраической кривой n-го порядка.

Порядок плоской алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек её пересечения прямой линией. Любая прямая линия может пересекать алгебраическую кривую линию n-го порядка не более чем в n точках.

Виды:

1. Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках. При этом парабола может быть определена как линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельная какой либо касательной плоскости этого конуса.

2. Гипербола - линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающая обе его полости.

3. Эллипс - линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все прямолинейные образующие одной полости этого конуса.

Рассмотренные плоские кривые линии, получаемые при пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостями, различно расположенными по отношению к оси конуса, называют кривыми конических сечений.

Трансцендентные кривые в отличие от алгебраических могут иметь бесконечное количество точек пересечения с прямой, точек перегиба, вершин и т.п.

Синусоида - трансцендентная плоская кривая линия , получающаяся в результате двойного равномерного движения точки - поступательного и возвратно-поступательного в направлении, перпендикулярном первому.

В практике конструирования линий и поверхностей широко используются обводы. Это кривые, составленные из дуг различных кривых, определенных парами смежных точек. Обводом ряда точек плоскости является плоская кривая, пространства - пространственная. Точки стыка дуг называются узлами. Обвод заданный координатами своих точек называется дискретным. Обвод называется гладким, если дуги обвода в узлах имеют общие касательные.

Кривая плавная во всех её точках называется плавной кривой линией.

Угол α (угол смежности) между касательными в двух бесконечно близких точках кривой, отнесенный к длине дуги между этими точками, определяет степень искривленности кривой линии, т.е. определяет кривизну кривой.

Соприкасающейся окружностью или кругом кривизны в данной точке называется предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две другие бесконечно близкие к ней точки.

Центр соприкасающейся окружности называется центром кривизны кривой в данной точке, а радиус такой окружности – радиусом кривизны кривой линии в данной точке.

Множество центров кривизны кривой является кривая линия- её называют эволютой данной кривой, а кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

10. Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси. В состав определителя поверхности вращения входит образующая l, ось вращения i и условие о том, что образующая вращается вокруг оси i: Г (l, i), [li = Ri (l)].. Каждая точка образующей l (А, В, С, D, Е) при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями. Наибольшую и наименьшую параллель называют экватором и горлом.Плоскость a проходящую через ось i называют меридиальной, а линии по которым эта плоскость пересекает поверхность называются меридианом. Меридиан, расположенный в плоскости b, параллельной плоскости проекций, называется главным меридианом q. Главный меридиан q делит поверхность на две части: видимую и невидимую относительно той плоскости, которой параллельна плоскость главного меридиана. Поверхности вращения обладают некоторыми важными свойствами, использующими в процессе конструирования деталей различных машин и механизмов. Например, свойством сдвигаемости, состоящим в том, что поверхность вращения может, вращаясь вокруг оси, сдвигаться без деформации вдоль самой себя. Меридиан поверхности вращения является кратчайшей (или геодезической) линией поверхности. Параллели и меридианы, пересекаясь под прямыми углами, образуют ортогональную сеть на поверхности вращения, аналогично прямоугольной декартовой сети на плоскости. Коническая поверхность образуется при движении прямой, которые пересекаются в собственной точке S, называемой вершиной, и пересекают направляющую а. Можно сказать, что коническая поверхность есть частный случай поверхности с ребром возврата, когда ребро возврата стягивается в точку S. Определитель поверхности Г (а, S) закон движения образующей: S li, li a.Для наглядности построен каркас образующих. Если направляющая кривая 2-го порядка, то при движении прямой образуется конус 2-го порядка. Частным случаем является конус с направляющей окружностью, когда все направляющие одинаково наклонены к плоскости окружности. Если направляющая а – ломаная, то образуется пирамидальная поверхность.? Цилиндрическая поверхность получается в том случае, когда прямолинейная образующая при движении пересекает направляющую а и остается параллельной сама себе и указанному направлению S, стремящемуся к бесконечности. Цилиндрическая поверхность является частным случаем конической, когда вершина S удалена в бесконечность. Определитель цилиндрической поверхности может иметь два вида:1)Г (а, l), li a, li | | l 2)Г (a, s), li a, li S . На рисунке показано задание цилиндрической поверхности и дискретного каркаса образующих. Если направляющая а является кривой 2-го порядка, то при движении образуется цилиндр 2-го порядка. Если направляющая а – ломаная, то образуется призматическая поверхность, которую можно считать частным случаем цилиндрической поверхности.? Параболоид вращения-Эта поверхность образуется при вращении параболы вокруг своей оси. Параболоид вращения неограниченная поверхность. В практике используют кусок поверхности, ограниченный параллелью. Гиперболоид вращения Гиперболоид имеет две оси – действительную и мнимую. При вращении гиперболы вокруг действительной оси – образуется однополостный гиперболоид вращения. При вращении гиперболы вокруг мнимой оси – образуется две полости гиперболоида или двуполостный гиперболоид вращения.