![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Векторная функция скалярного аргумента
- •2. Кривые в пространстве, длина кривой.
- •3.Две леммы о векторной функции скалярного аргумента.
- •4.Сопровождающий трехгранник кривой.
- •5.Соприкасающаяся окружность. Кривизна и кручение кривой.
- •6. Формулы Френе.
- •7. Вычисление кривизны и кручения
- •1. Натуральная параметризация.
- •2. Произвольная параметризация.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Уравнение касательной плоскости имеет вид
- •9. Первая квадратичная форма поверхности
- •Площадь поверхности.
- •10.Криволинейные системы координат.
- •2) Сферическая система координат.
- •11.Дифференцирование скалярного поля.
- •12.Дифференцирование векторного поля.
- •13)Оператор Гамильтона. Дифференцирование произведений.
- •14.Дифференциальные операции второго порядка над полями.
- •15)Поверхностный интеграл первого рода.
- •21.Инвариантное определение операций div, grad, rot…
- •28.Ряды Фурье по общим ортогональным системам.
- •30.Замкнутость и полнота ортогональных систем функций. Замкнутость тригонометрической системы.
- •32.Интегральная формула Фурье.
3.Две леммы о векторной функции скалярного аргумента.
4.Сопровождающий трехгранник кривой.
уравнение прямой по направлению вектора
r’ (t):
где
X, Y, Z координаты точек прямой.
Вектор
называется
единичным вектором касательной.
Плоскость, проходящая через точку M
кривой, перпендикулярно касательной в
этой точке, называется нормальной
плоскостью в точке M.
Уравнение нормальной плоскости имеет
вид:
или
.Определение
1.18 Соприкасающейся плоскостью
кривой L в точке M0 называется
предел, к которому стремится при M →
M0переменная плоскость πм
, проходящая через касательнуюM0
T к кривой Lc в точке M0 и переменную
точку M кривой L.
Плоскость π называется пределом при M → M0переменной плоскости πM, проходящей через касательную M0T к кривой L в точке M0 и переменную точку M если угол между плоскостями π и πм стремится к нулю.
уравнение соприкасающейся плоскости
или
.
Любая прямая, проходящая через точку M кривой L перпендикулярно касательной к кривой в этой точке называется нормалью кривой L в точке M.
Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости кривой L в точке M называется главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости – бинормалью.
Плоскость, проходящая через касательную и бинормаль называется спрямляющей плоскостью.
Ур-е нормали кривой L в точке соотв. зн.
параметра t0
ур-е спрямляющей плоскости
Совокупность построенных прямоугольных координатных осей и координатных плоскостей называется сопровождающим трехгранником кривой (трехгранником Френе).
Рассмотрим натуральную параметризацию
кривой r(l). Будем обозначать производную
век торной функции по натуральному
параметру точкой сверху:
в случае натуральной параметризации
кривой, единичный вектор касательной
выглядит следующим образом:
Прежде мы негласно выбрали следующие
направления: вектор касательной направлен
в сторону вектора
,
вектор главной нормали направим в
сторону вектора
,
а вектор бинормали направим так, чтобы
векторы τ,n, β образовывали правую тройку.
Тогда имеют место соотношения
5.Соприкасающаяся окружность. Кривизна и кручение кривой.
6. Формулы Френе.
Найдём
производные от векторов
,
,
:
,
.
Очевидно, что
=0,
то есть
.
Следовательно, имеем: ( далее
это
)
,
где
- кручение линии (
по теореме 2 §1.).
.
Мы получили формулы Френе:
,
Можно обозначить матрицу
,
в которой построчно записаны координаты
векторов
,
,
в базисе
.
Очевидно, что
,
7. Вычисление кривизны и кручения
1. Натуральная параметризация.
если задана линия
,
то
,
,
.
Найдём кривизну
линии
.
Так как
и
,
то:
.
Найдём
:
.
Найдём смешанное произведение векторов
,
,
:
Так как
,
и
,
то
.
Следовательно, мы получили выражение
для кручения
линии
:
.