29 Вычисление установившейся ошибки сау
Ошибка системы по задающему воздействию равна
,
а по возмущению
т. е. ошибка системы от возмущения численно равна изменению регулируемой величины под влиянием этого возмущения (при отсутствии задающего воздействия).
Ввиду
наличия переходных процессов текущее
значение ошибки
резко меняется и не может служить мерой
точности автоматических систем. Поэтому
точность автоматических систем оценивают
величиной установившейся ошибки, которая
имеет место в устойчивой системе после
завершения переходного процесса.
Необходимо
установить, во-первых, как вычисляются
установившиеся ошибки и, во-вторых,
какие факторы влияют на эти ошибки. Обе
задачи решаются параллельно. Предварительно
отметим, что установившаяся ошибка
вычисляется для значения времени
,
т. е.
.
Величину
установившейся ошибки можно найти из
дифференциального уравнения системы,
однако ее значительно удобнее вычислять
при помощи передаточной функции ошибки
.
Следовательно,
.
Данная
формула позволяет найти изображение
ошибки. Для того чтобы найти ошибку как
функцию времени, необходимо сделать
обратное преобразование Лапласа:
,
откуда можно определить установившуюся
ошибку, положив
.
Рассмотренный
способ вычисления
не рационален. Применим теорему
операционного исчисления о конечном
значении функции. Эта теорема говорит
о том, что если известно изображение
функции
,
то конечное значение оригинала
можно вычислить по формуле
.
Применяя эту формулу для решения нашей задачи, получаем
(1)
Формула (1) позволяет вычислить установившуюся ошибку по задающему воздействию . Для определения установившейся ошибки от возмущения надо воспользоваться зависимостью
(2)
где
- передаточная функция по возмущению.
Таким
образом, из формул (1) и (2) следует, что
точность автоматических систем зависит,
во-первых, от внешнего воздействия
или
и, во-вторых, от свойств автоматической
системы, отображаемых передаточной
функцией
или
.
Задающие
и возмущающие воздействия являются
сложными функциями времени и поэтому
вычисление ошибок значительно усложняется.
Реальные воздействия заменяются
типовыми, в качестве которых применяют
ступенчатую
,
линейную
и квадратичную
функции. Все эти воздействия просто
выражаются при помощи формул; их значения
можно точно вычислить для любого момента
времени, ввиду чего они называются
детерминированными, или регулярными.
30 Вычисление ошибки от задающих воздействий
Учитывая равенство (1), а также выражение для передаточной функции ошибки
(3)
получим формулу для вычисления ошибки от задающего воздействия.
,
где - передаточная функция разомкнутой системы.
При
вычислении ошибок по формуле (3)
учитывается, что изображения по Лапласу
для типовых воздействий
,
,
- соответственно равны:
;
;
.
Кроме
того, для статистических систем
,
а для астатических систем 1-го и 2-го
порядков примем соответственно
и
,
при
этом
,
где k — коэффициент передачи разомкнутой
системы; W*(р) — передаточная функция
без учета интегрирующих звеньев и
коэффициента передачи.
Ошибки некоторых автоматических систем приведены в табл. 3. Анализ табл. 3 показывает, что статические системы при ступенчатом воздействии имеют установившуюся ошибку
, (4)
которая называется статической, или ошибкой по положению. Она пропорциональна величине задающего воздействия и уменьшается с увеличением коэффициента передачи разомкнутой системы k.
Астатические системы 1-го порядка принципиально точно отрабатывают ступенчатое воздействие, но имеют постоянную ошибку при отработке линейно возрастающего сигнала (табл. 3). Эта ошибка
(5)
пропорциональна скорости v изменения входного сигнала, ввиду чего ее называют скоростной ошибкой, а коэффициент передачи разомкнутой системы k — добротностью системы по скорости. Отсутствие статической ошибки объясняется наличием в одноцепочечной структурной схеме системы интегрирующего звена.
Астатические системы 2-го порядка принципиально точно отрабатывают как ступенчатый, так и линейно возрастающий сигнал. При отработке квадратичного сигнала имеет место ошибка
,
(6)
пропорциональная ускорению а входного сигнала и обратно пропорциональная коэффициенту усиления разомкнутой системы k, который называется добротностью системы по ускорению, а сама ошибка — ошибкой системы по ускорению.
Итак, с увеличением коэффициента передачи разомкнутой системы установившиеся ошибки уменьшаются.
ранее было показано, что, с увеличением k ухудшается устойчивость автоматических систем. Таким образом, требование к точности противоречит требованию к устойчивости. Далее будет рассмотрено, что улучшение устойчивости при заданном относительно большом значении k достигается путем включения в систему корректирующих устройств.
Чем больше v, тем точнее система отрабатывает более сложное воздействие и поэтому следящие системы и системы управления выполняют как астатические. Однако с увеличением порядка астатизма САУ более склонны к колебаниям в переходных процессах, и их устойчивость ухудшается. Поэтому системы с порядком астатизма более двух на практике почти не встречаются.