51. Свертка для импульсных систем.

Импульсная характеристика h(k) дискретной системы является откликом системы на единичную импульсную функцию x₀(k), являющуюся аналогом дельта-функции при описании дискретных систем и представляющую собой единичный отсчет с единичным значением:

               (1)

Импульсная характеристика показывает реакцию дискретной системы на подачу на ее вход единичной импульсной функции.

 

y₀(k) = F(x₀(k)) = h(k)         (2)

Импульсная характеристика является основной характеристикой линейной системы: зная ее можно определить реакцию на любое воздействие.

Выведем формулу расчета отклика системы на произвольное воздействие x(k) через импульсную характеристику.

Воздействие x(k) можно записать в виде линейной комбинации единичных отсчетов:

(3)

По свойствам линейной стационарной дискретной системы получаем:

- реакцией на единичную импульсную функцию x₀(k) является импульсная характеристика дискретной системы h(k):

x₀(k) => h(k)

- по свойству инвариантности во времени, воздействию, задержанному на m отсчетов соответствует реакция, задержанная на такое же число отсчетов:

x₀(k – m) => h(k – m)

- По свойству однородности умноженному воздействия на константу x(m) соответствует реакция, умноженная на ту же константу x(m)

x₀(k – m)·x(m) => h(k – m)·x(m)

- По свойству аддитивности реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействия по отдельности:

Так как

    (4)

Линейное уравнение, описываемое формулой 4, называется дискретной линейной сверткой.

Дискретная свертка позволяет описать взаимосвязь выхода дискретной системы с ее входом с помощью импульсной характеристики дискретной системы.

Формула (4) может быть записана в виде:

(5)

Свертка так же может быть записана в сокращенном виде:

y(k)=h(k)*x(k)

Пределы суммирования в формулах 4 и 5 могут быть изменены в соответствии с входным сигналом и свойствами системы.

Например, для физически реализуемых дискретных линейных систем мы будем использовать следующие формулы:

(6)

(7)

Ограничение пределов суммирования означает, что система при вычислении использует только предыдущие значения отсчетов воздействия и не имеет информации о последующих.

52. Реакция импульсной системы на показательное возмущение.

Структурные представления и передаточные функции составляют основу для инженерных расчетов импульсных автоматических систем. Они позволяют в значительной степени облегчить решение задач исследования.

Для исследования динамических свойств системы в первую очередь необходимо определить ее передаточные функции, которые, как известно, устанавли­вают зависимость между входным воздействием и реакцией системы (звена). Обычно в рассмотрение вводят, как и при исследовании непрерывных систем, следующие передаточные функции: передаточную функцию разомкнутой им­пульсной системы, основную передаточную функцию замкнутой импульсной системы и передаточную функцию ошибки.

Передаточной функцией разомкнутой импульсной системы называется от­ношение изображений в смысле дискретного преобразования Лапласа выход­ного и входного импульсных сигналов при нулевых начальных условиях:

Аналогично определяется эта передаточная функция в смысле z-преобразования:

W (z) = Хвых (Z) .

Основная задача состоит в том, чтобы определить передаточную функцию W (г) по известной передаточной функции приведенной непрерывной части системы W (р). Эту задачу решают в следующей последовательности:

1. По передаточной функции W (р) в результате применения обратного преобразования Лапласа находят функцию веса ПНЧ:

w(t)=L-^l[W(p)).

По функции веса ПНЧ w (f) определяют аналитическое выражение для соответствующей дискретной функции веса w (nT).

Искомую передаточную функцию W (г) получают как z-преобразование дискретной функции веса ПНЧ:

W(z) = Z[w{nT)\.

Основная передаточная функция замкнутой импульсной системы позволяет вычислить реакцию замкнутой системы х_ВЬ1Х (пТ) на задающее воздействие х_ах (пТ). Ее определяют, как и в непрерывных системах, в соответствии с урав­нением замыкания через дискретную передаточную функцию разомкнутой си­стемы:

Передаточную функцию замкнутой системы всегда можно представить в виде отношения двух полиномов относительно переменной г:

Запишем это выражение в развернутом виде

,1евая часть этого уравнения (в скобках) представляет собой характеристиче­ский полином замкнутой импульсной системы М (г). В результате перехода

от изображений к оригиналам в формуле (194) легко получить соответствующее разностное уравнение системы:

Аналогично можно получить разностное уравнение разомкнутой системы по передаточной функции W (г).

Передаточная функция ошибки определяется через передаточную функцию разомкнутой системы по формуле

_Oe(2)=_^_==T_L_. ₍₁₉₅)

Зная задающее воздействие и эту передаточную функцию, можно оценить динамическую точность импульсной системы — найти дискретную функцию ошибки е (пТ).