23 Управляемость и наблюдаемость.

С остояние объекта управления (ИУ) в полной мере описывается выходным воздействием , которое описывает состояние системы в целом. В ходе эксплуатации САУ выходное воздействие может принимать различные значения, например, , что соответствует какому-то состоянию САУ. Выходное воздействие зависит от входного воздействия и пусть в какой-то момент времени на выходе САУ имеется сигнал (система находится в состоянии ). Требуется за промежуток времени получить на выходе САУ сигнал путем подбора входного воздействия .

 Система будет управляемой, если путем подбора входного воздействия удается за конечный промежуток времени перевести её из начального состояния в заданное состояние .

 Таким образом, свойство управляемости – свойство САУ переходить из одного состояния в другое в течение заданного времени.  Для определения условий управляемости рассмотрим систему с двумя входами и выходами (рис. 2)

  Многомерная САУ (в данном случае двумерная) описывается следующей системой д.у.

 Систему д.у. представим в матричной форме следующим образом:

.

 Тогда исходные д.у. (1) и (2) можно записать в следующем виде:

 Уравнение (3) удобно решать как одно:

 Решением уравнения (4) будут выражения:

– общее решение д.у.

– частное решение д.у.

 Требуется найти такое , чтобы за время САУ была бы переведена в состояние .

 Управляемость САУ, т.е. переход из одного состояния в другое, вытекает из частного решения д.у.:

.

 Следует учесть, то – это матрица и следовательно:

 Из (5) получим

 Выражение разлагают в многочлен Лагранжа - Сильвестра (разложение в матрицу) и конечное выражение имеет вид:

где – коэффициенты разложения.

 ? получается в том случае, когда будет ….. невырожденное умножение, т.е. САУ управляема, если ранг матрицы и когда ее определитель отличен от ?.

  – мерная САУ является управляемой когда ранг матрицы .

Пример. САУ описывается системой д.у.

 Определить: управляема ли система?

 Ранг матрицы равен 2 и, следовательно, система управляема.

24 Идентифицируемость сау.

Система идентифицируема, если с помощью измерений её выходных воздействий удается определить коэффициенты д.у.

 Рассмотрим линейную стационарную САУ, описываемую векторным д.у. (1).

 Пусть при помощи измерений определены состояния САУ в моменты времени , где – число выходов системы; – некоторый фиксированный промежуток времени (рис. 1).

Векторное уравнение (1) можно представить в матричной форме:

Так как система имеет выходов то её поведение на каждом выходе будет описываться выходными воздействиями . С момента через равные промежутки будем измерять выходные воздействия.

 Всего измерений .

 Решая исходное векторное уравнение получим:

Тогда . Введем обозначения:

и получим . Если определитель , то коэффициенты исходного д.у. можно найти из выражения:

,

 где – матрица, обратная матрице . Таким образом, необходимым условием идентифицируемости САУ является отличие от нуля матрицы .

 Пример. Дана линейная стационарная САУ с тремя выходами . Пусть в результате четырех измерений в моменты времени получены следующие результаты.

 Определитель равен нулю, система не идентифицируема, т.е. по результатам измерений определить ее коэффициенты нельзя.