63 Метод гармонического баланса.

Метод гармонического баланса был предложен для определения автоколебаний в нелинейной системе Л. С. Гольдфарбом.

Этот метод основан на применении частотных характеристик нелинейной системы, получаемых в результате гармонической линеаризации, в связи с чем и применяется для приближенного исследования.

Метод гармонической линеаризации служит для приближенного определения периодических решений (автоколебаний) и устойчивостинелинейных систем любого порядка и близок к методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова.

Идея метода состоит в отыскании такой системы, свойства которой были бы близки к некоторым свойствам изучаемой нелинейной системы.

Метод гармонической линеаризации заключается в отыскании периодического решения на входе нелинейного элемента, разложении сигнала на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье и его замене первой гармоникой. Такая замена справедлива, если система автоматического управления является фильтром низких частот, хорошо гасящим колебания высших гармоник.

Рассматриваемый приближенный метод является мощным средством исследования нелинейных систем автоматического управления в смысле простоты и довольно большой универсальности его аппарата в применении к самым разнообразным нелинейностям.

Описание метода гармонического баланса

Пусть рассматривается нелинейный элемент, заданный функцией вида

Где тогда Разложив функцию в правой части (1) в ряд Фурье, получим высшие гармоники. Положим что означает отсутствие постоянной составляющей в данном разложении. Если принять во внимание, что из (2) и (3)  и  тогда формулу (4) при условии (5) можно записать в виде высшие гармоники где   и   - коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые формулами: