Практическое применение l-Shaped метода
Рассмотрим задачу оптимизации части ресурсов предприятия, которая сформулирована в форме двухэтапной многопериодной задачи линейного программирования. В данной модели целевая функция представлена в форме математического ожидания. Эта модель позволяет оценить возможности удовлетворения бюджетных требований на весь планируемый период в среднем.
Для описания постановки задачи введены следующие обозначения:
n – число планируемых периодов работы предприятия.
k1 – планируемое количество единиц собственного ресурса (переменная первого этапа)
с1 – стоимость содержания (эксплуатации, обслуживания) единицы собственного ресурса в период, приходящаяся на единицу удовлетворяемого им спроса
с2 – стоимость аренды единицы ресурса в период, приходящаяся на единицу удовлетворяемого им спроса
с – цена покупки единицы ресурса
- часть спроса, удовлетворяемая собственным
ресурсом в j-й период
(переменная второго этапа)
- часть спроса, удовлетворяемая
арендованным ресурсом в j-й
период (переменная второго этапа)
- случайная величина спроса, которую
необходимо удовлетворить j-й
период,
V – часть спроса, удовлетворяемая единицей собственного ресурса
Предполагается, что компоненты вектора
случайного вектора
независимы и имеют дискретное, причём
конечное распределение. Каждому
возможного варианту спроса соответствует
своя вероятность
.
Единицы собственного ресурса приобретаются до начала планируемого периода, а в случае их нехватки для удовлетворения случайного спроса некоторое количество единиц ресурса нанимается дополнительно.
Запишем задачу второго этапа:
при ограничениях
где
.
Первое ограничение обусловлено тем,
что издержки на аренду единицы ресурса
меньше, чем прибыль, полученная при
удовлетворении части спроса с помощью
единицы ресурса, то есть спрос выгодно
удовлетворять весь. Функция
является кусочно линейной функцией x
при фиксированном k1,
следовательно можно рассмотреть
следующую функцию
Тогда окончательно будем иметь
при
Примеры решения данной модели для конкретных чисел.
V |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
V*k1 |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
|
X |
p |
Значение критерия второго этапа при фиксированном спросе |
|
|
|||||
10 |
0,1 |
100 |
75 |
50 |
50 |
50 |
50 |
50 |
|
15 |
0,2 |
150 |
125 |
100 |
75 |
75 |
75 |
75 |
|
20 |
0,4 |
200 |
175 |
150 |
125 |
100 |
100 |
100 |
|
25 |
0,2 |
250 |
225 |
200 |
175 |
150 |
125 |
125 |
|
30 |
0,1 |
300 |
275 |
250 |
225 |
200 |
175 |
150 |
|
|
n |
Среднее значения критерия второго этапа по периодам |
|
|
|||||
|
1 |
200 |
175 |
150 |
127,5 |
110 |
102,5 |
100 |
|
|
2 |
400 |
350 |
300 |
255 |
220 |
205 |
200 |
|
|
3 |
600 |
525 |
450 |
382,5 |
330 |
307,5 |
300 |
|
|
4 |
800 |
700 |
600 |
510 |
440 |
410 |
400 |
|
|
5 |
1000 |
875 |
750 |
637,5 |
550 |
512,5 |
500 |
|
|
6 |
1200 |
1050 |
900 |
765 |
660 |
615 |
600 |
|
|
|
Значения критерия оптимальности |
|
|
|
|
|||
|
|
200 |
215 |
230 |
247,5 |
270 |
302,5 |
340 |
200 |
|
|
400 |
390 |
380 |
375 |
380 |
405 |
440 |
375 |
|
|
600 |
565 |
530 |
502,5 |
490 |
507,5 |
540 |
490 |
|
|
800 |
740 |
680 |
630 |
600 |
610 |
640 |
600 |
|
|
1000 |
915 |
830 |
757,5 |
710 |
712,5 |
740 |
710 |
|
|
1200 |
1090 |
980 |
885 |
820 |
815 |
840 |
815 |
-
V
6
c
25
c1
7
c2
11
k1
0
1
2
3
4
5
6
7
V*k1
0
6
12
18
24
30
36
42
X
p
Значение критерия второго этапа при фиксированном спросе
6
0,03
66
42
42
42
42
42
42
42
12
0,31
132
108
84
84
84
84
84
84
18
0,14
198
174
150
126
126
126
126
126
24
0,01
264
240
216
192
168
168
168
168
30
0,17
330
306
282
258
234
210
210
210
36
0,32
396
372
348
324
300
276
252
252
42
0,02
462
438
414
390
366
342
318
294
n
Среднее значения критерия второго этапа по периодам
1
265,32
241,32
218,04
202,2
189,72
177,48
169,32
168,84
2
530,64
482,64
436,08
404,4
379,44
354,96
338,64
337,68
3
795,96
723,96
654,12
606,6
569,16
532,44
507,96
506,52
4
1061,28
965,28
872,16
808,8
758,88
709,92
677,28
675,36
5
1326,6
1206,6
1090,2
1011
948,6
887,4
846,6
844,2
6
1591,92
1447,92
1308,24
1213,2
1138,32
1064,88
1015,92
1013,04
7
1857,24
1689,24
1526,28
1415,4
1328,04
1242,36
1185,24
1181,88
8
2122,56
1930,56
1744,32
1617,6
1517,76
1419,84
1354,56
1350,72
n
Значения критерия оптимальности
1
265,32
266,32
268,04
277,2
289,72
302,48
319,32
343,84
265,32
2
530,64
507,64
486,08
479,4
479,44
479,96
488,64
512,68
479,4
3
795,96
748,96
704,12
681,6
669,16
657,44
657,96
681,52
657,44
4
1061,28
990,28
922,16
883,8
858,88
834,92
827,28
850,36
827,28
5
1326,6
1231,6
1140,2
1086
1048,6
1012,4
996,6
1019,2
996,6
6
1591,92
1472,92
1358,24
1288,2
1238,32
1189,88
1165,92
1188,04
1165,92
7
1857,24
1714,24
1576,28
1490,4
1428,04
1367,36
1335,24
1356,88
1335,24
8
2122,56
1955,56
1794,32
1692,6
1617,76
1544,84
1504,56
1525,72
1504,56