Решение матричных уравнений. Примеры. Их связь с формулами Крамара.

1. - (detA 0)

2. -

(detA 0)

3. -

(detA

Если detA=0 , либо пустое множество. При желании матричное уравнение можно привести к системе линейных уравнений относительно n – кол-ва неизвестных.

Системы линейных уравнений. Матричная и векторная запись. Основные понятия.

Опр. Система вида: называется СЛУ матричный вид записи: , где A – матрица системы, Х-столбец неизвестных, В - столбец свободных членов.

векторный вид записи:

По внешнему виду СЛУ делятся на однородные и неоднородные. По типу решения системы делятся: 1. совместные (имеют хотя бы одно решение), 2. несовместные (не имеют решений).

Опр. Упорядоченный набор чисел С₁…Сn называется решением системы, если при подстановке x₁=C₁, x_n=C_n, и все уравнения системы превращаются в тождества. Система СЛОУ – всегда совместная. Совместные системы можно разделить на: 1. определённые – имеющие одно решение 2.неопределённые – имеющие более одного решения. Опр. Две системы называются эквивалентными, если они имеют одинаковое множество решений или они обе несовместные. Главный способ решения СЛОУ - привидение исходной системы к более простой эквивалентной с помощью следующих элементарных преобразований. Принцип решения: 1. меняем местами любые два ур-я. 2. любое Ур-е можно умножить или сократить на число . 3. решение системы не изменится, если любое Ур-е заменить на его сумму с другим уравнением, умноженным на любое число. 4. данные экспериментальные преобразования строк матрицы a. меняются местами любые две строки. b.

с. . Можно привести к ступенчатому виду. По полученной ступенчатой матрице получаем систему уравнений соответствующего вида, которая имеет более простой вид с точки зрения решения и является эквивалентной исходной.

Правило Крамара для решения систем линейных уравнений.

Формула Крамара:

, где - определитель системы.

- определители, где соответствующие столбцы заменены на столбец из того, чему равно каждое ур-е системы. Замечание 1: Последнюю неизвестную можно найти из любого ур-я. Замечание 2:(Теорема Крамара) Нельзя использовать данные формулы при =0, число уравнений должно равняться числу неизвестных. Если в квадратной системе m*n, , где m – число уравнений, n – число неизвестных, тогда система имеет единственное решение.

Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.

Рангом матрицы называется наибольший из порядков определителей, отличных от нуля, из порожденных данной матрицей. Ранг матрицы не меняется, если: а) все строки заменить столбцами; б) поменять местами две строки (столб­ца); в) умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же множитель, отличный от нуля; г) сложить одну строку (столбец) с другой строкой (столбцом), увеличенной в т раз.

Если некоторый определитель r-го порядка матри­цы М отличен от нуля, а все определители (r + 1)-го порядка, заключающие его в качестве минора, равны нулю, то ранг матрицы М равен r.

Если i<r, то определитель будет иметь 2 одинаковых столбца, поэтому = 0; если же i > r, то будет определите­лем (г + 1)-го порядка, содержащим определитель D в качестве минора, поэтому, согласно условию теоремы, = 0. Отсюда следует, что k-я строка матрицы М должна линейно зависеть от первых r строк (см. теорему о связи ранга матрицы с числом линейно независимых форм). Воспользовавшись теоремой 1, вычтем из (r + 1)-й, (r + 2)-й, ... , m-й строк матрицы М соот­ветствующие линейные комбинации r первых строк, тогда матрица М превратится в:

R (М')=r, R (М)