Оценка параметров

Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются, как и в парной регрессии, методом наименьших квадратов. При его применении строится система, решение которой и позволяет получить оценки параметров регрессии.

Так, для уравнения y = a + b₁  x₁ + b₂  x₂ + … + b_p  x_p + система нормальных уравнений составит:

Её решение может быть осуществлено методом определителей:

a = a / , b₁ = b₁ / ,…, b_p = b_p / ,

где  – определитель системы; a, b₁, …, b_p – частные определители.

При этом

а a, b₁, …, b_p получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Процедура оценки параметров b₀ = a, b₁, b₂, b_k та же, что и в парной линейной регрессии, т.е. находим по правилу умножения матрицу X^TX, обратную матрицу (X^TX)^–1, X^TY, и далее оценки B, как: B = (X^TX)^–1X^TY.

Пример 3.4. Имеются следующие данные по 10 предприятиям концерна о прибыли (y – млн. руб.), выработке продукции на одного работника (x₁ – единиц) и доле продукции, производимой на экспорт (– %), приведенные в табл. 3.1.

Таблица 3.1. Исходные и расчетные данные для примера построения множественной регрессии

№ п/п	y	x1	x2	y2	x12	x22	yx1	yx2	x1x2	yr
1	2	11	3	4	121	9	22	6	33	2,284553
2	1	10	2	1	100	4	10	2	20	1,45935
3	3	12	4	9	144	16	36	12	48	3,109756
4	8	18	10	64	324	100	144	80	180	8,060976
5	7	15	11	49	225	121	105	77	165	6,544715
6	5	13	6	25	169	36	65	30	78	4,174797
7	4	13	5	16	169	25	52	20	65	3,934959
8	6	15	7	36	225	49	90	42	105	5,585366
9	7	16	10	49	256	100	112	70	160	6,890244
10	7	17	12	49	289	144	119	84	204	7,955285
Итого	50	140	70	302	2022	604	755	423	1058

Система нормальных уравнений составит:

Решая ее методом определителей, получим:

 = 9840, a = –47960, b₁ = 5760, b₂ = 2360,

откуда:

a = –4,874; b₁ = 0,585; b₂ = 0,240.

Уравнение регрессии выглядит следующим образом:

№13

На основе линейного уравнения множественной регрессии

y = a + b₁  x₁ + b₂  x₂ + … + b_p  x_p + 

могут быть найдены частные уравнения регрессии:

т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующими факторами x при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне. Частные уравнения регрессии имеют следующий вид:

;

;

.

При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факторов они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т.е. имеем:

;

;

где

;

;

В отличие от парной регрессии частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на неизменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения множественной регрессии. Это позволяет на основе частных уравнений регрессии определять частные коэффициенты эластичности:

(3.5)

где b_i – коэффициенты регрессии для фактора x_i в уравнении множественной регрессии; – частное уравнение регрессии.

Пример 3.7. Предположим, что по ряду регионов множественная регрессия величины импорта на определенный товар y относительно отечественного его производства x₁, изменения запасов x₂ и потребления на внутреннем рынке x₃ оказалась следующей:

y = –66,028 + 0,135  x₁ + 0,476  x₂ + 0,343  x₃.

При этом средние значения для рассматриваемых признаков составили:

y = 31,5; x₁ =245; x₂ =3,7; x₃ = 12,5.

На основе данной информации могут быть найдены средние по совокупности показатели эластичности:

.

Для этого примера они окажутся равными:

,

т.е. с ростом объема отечественного производства на 1 % размер импорта в среднем по совокупности регионов возрастет на 1,053 % при неизменных запасах и потреблении семей.

Для второй переменной коэффициент эластичности составляет:

,

т.е. с ростом изменения запасов на 1 % при неизменном производстве и внутреннем потреблении величина импорта увеличивается в среднем на 0,056 5.

Для третьей переменной коэффициент эластичности составляет:

,

т.е. при неизменном объеме производства и величины запасов с увеличением внутреннего потребления на 1 % импорт товара возрастает в среднем на 1,987 %. Средние показатели эластичности можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. В рассматриваемом примере наибольшее воздействие на величину импорта оказывает размер внутреннего потребления товара x₃, а наименьшее – изменение запасов x₂.

Наряду со средними показателями эластичности в целом по совокупности регионов на основе частных уравнений регрессии могут быть определены частные коэффициенты эластичности для каждого региона.

Частные уравнения регрессии в нашем случае составят:

,

т.е. ;

,

т.е. ;

,

т.е. .

Подставив в данные уравнения фактические значения соответствующих факторов по отдельным регионам, получим значения моделируемого показателя y при заданном уровне одного фактора и средних значениях других факторов. Эти расчетные значения результативного признака используются для определения частных коэффициентов эластичности по приведенной выше формуле. Так, если в регионе x₁ = 160,2; x₂ = 4,0; x₃ = 190,5, то частные коэффициенты эластичности составят:

;

;

.

Как видим, частные коэффициенты эластичности для региона несколько отличаются от аналогичных средних показателей по совокупности регионов. Они могут быть использованы при принятии решений по развитию конкретных регионов.

№14.