Выбор формы уравнения регрессии

Как и в парной зависимости, используются разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные.

Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используются линейная и степенная функция. В линейной множественной регрессии y = a + b₁  x₁ + b₂  x₂ + … + b_p  x_p параметры при x называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Пример 3.3. Предположим, что зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением:

y = 0,5 + 0,35x₁ + 0,73x₂,

где y –расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс. руб.; x₁ – месячный доход на одного члена семьи, тыс. руб.; x₂ – размер семьи, человек.

Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс. руб. расходы на питание возрастут в среднем на 350 руб. при том же среднем размере семьи. Иными словами, 35 % дополнительных семейных расходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при тех же её доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 руб. Параметр a не имеет экономической интерпретации.

При изучении вопросов потребления коэффициенты регрессии рассматриваются как характеристики предельной склонности в потреблению. Например, если функция потребления C_t имеет вид

C_t = a + b₀  R_t + b₁  R_t–1 + ,

то потребление в период времени t зависит от дохода того же периода R_t и от дохода предшествующего периода R_t–1. Соответственно коэффициент b₀ характеризует эффект единичного возрастания дохода R_t при неизменном уровне предыдущего дохода. Коэффициент b₀ обычно называют краткосрочной предельной склонностью к потреблению. Общим эффектом возрастания как текущего, так и предыдущего дохода будет рост потребления на b = b₁. Коэффициент b рассматривается здесь как долгосрочная склонность к потреблению. Поскольку коэффициенты b₀ и b₁ > 0, долгосрочная склонность к потреблению должна превосходить краткосрочную b₀. Напрмер, за период 1905-1951 гг. (за исключением военных лет) М.Фридман построил для США следующую функцию потребления: C_t = 53 + 0,58  R_t + 0,32  R_t–1 с краткосрочной предельной склонностью к потреблению 0,58 и с долгосрочной склонностью к потреблению 0,9.

Функция потребления может рассматриваться также в зависимости от прошлых привычек потребления, т.е. от предыдущего уровня потребления C_t–1:

C_t = a + b₀  R_t + b₁  C_t–1 + .

В этом уравнении параметр b₀ также характеризует краткосрочную предельную склонность к потреблению, т.е. влияние на потребление единичного роста доходов того же периода R_t. Долгосрочную предельную склонность к потреблению здесь измеряет выражение b₀/(1 – b₁).

Так, если уравнение регрессии составило:

C_t = 23,4 + 0,46  R_t + 0,20  C_t–1 + .

то краткосрочная склонность к потреблению равна 0,46, а долгосрочная – 0,575 (0,46/0,8).

Свободный член уравнения множественной линейной регрессии (параметр a) вбирает в себя информацию о прочих не учитываемых в модели факторах. Его величина экономической интерпретации не имеет. Формально его значение предполагает то значение y, когда все x = 0, что практически не бывает.

В степенной функции y_x = a  x₁^b1 x₂^b2  … x_p^bp коэффициенты b_j являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов в среднем изменяется результат с изменением соответствующего фактора на 1 % при неизменности действия других факторов. Этот вид уравнения регрессии получил наибольшее распространение в производственных функциях, в исследованиях спроса и потребления.

Предположим, что при исследовании спроса на мясо получено уравнение

y_x = 0,82  x₁^–2,63  x₂^1,11 или y_x = 0,82  x₂^1,11/x₁^2,63,

где y_x – количество спрашиваемого мяса; x₁ – цена; x₂ – доход.

Следовательно, рост цен на 1 % при том же доходе вызывает снижение спроса в среднем на 2,63 %. Увеличение дохода на 1 % обусловливает при неизменных ценах рост спроса на 1,11 %.

В производственных функциях вида

P = a  F₁^b1  F₂^b2 …  F_m^bm  ,

где P – количество продукта, изготавливаемого с помощью m производственных факторов (F₁, F₂, … F_m); b – параметр, являющийся эластичностью количества продукции по отношению к количеству соответствующих производственных факторов.

Экономический смысл имеют не только коэффициенты b каждого фактора, но и их сумма, т.е. сумма эластичности: B = b₁ + b₂ + … + b_m. Эта величина фиксирует обобщенную характеристику эластичности производства. Пусть производственная функция имеет вид:

P = 2  F₁^0,3  F₂^0,2  F₃^0,5  ,

где P – выпуск продукции; F₁ – стоимость основных производственных фондов; F₂ – отработано человеко-дней; F₃ – затраты на производство.

Эластичность выпуска по отдельным факторам производства составляет в среднем 0,3 % с ростом F₁ на 1 % при неизменном уровне других факторов; 0,2 % – с ростом F₂ на 1 % также при неизменности других факторов производства; 0,5 % – с ростом F₃ на 1 % при неизменном уровне других факторов. Для данного уравнения B = b₁ + b₂ + b₃ = 1. Следовательно в целом с ростом каждого фактора производства на 1 % коэффициент эластичности выпуска продукции составляет 1 %, т.е. выпуск продукции увеличивается на 1 %, что в микроэкономике соответствует постоянной отдаче от масштаба.

При практических расчетах не всегда сумма коэффициентов равна единице. Она может быть как больше, так и меньше единицы. В этом случае величина B фиксирует приближенную оценку эластичности выпуска с ростом каждого фактора производства на 1 % в условиях увеличивающейся (B > 1) или уменьшающейся (B < 1) отдачи от масштаба.

Так, если P = 2,4  F₁^0,3  F₂^0,7  F₃^0,2, то с ростом значений каждого фактора производства на 1 % выпуск продукции в целом возрастает приблизительно на 1,2 %.

Возможны и другие линеаризуемые функции для построения уравнения множественной регрессии:

– экспонента ;

– гипербола , которая используется при обратных связях признаков.

Стандартные компьютерные программы обработки регрессионного анализа позволяют перебирать различные функции и выбрать ту из них, для которой остаточная дисперсия и ошибка аппроксимации минимальны, а коэффициент детерминации максимален.

Если исследователя не устраивает предлагаемый стандартной программой набор функций регрессии, то можно использовать любые другие функции, приводимые путем соответствующих преобразований к линейному виду, например

.

Обозначив

z₁ = x₁, z₂ = 1/x₂, z₃ = x₃^1/2, z₄ = ln x₄,

получим линейное уравнение множественной регрессии

y = a + b₁  z₁ + b₂  z₂ + b₃  z₃ + b₄  z₄ + .

Однако чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы её параметры.

При использовании сложных полиномиальных функций с большим числом факторов необходимо помнить, что каждый параметр преобразованной функции является средней величиной, которая должна быть подсчитана по достаточному числу наблюдений. Если число наблюдений невелико, что, как правило, имеет место в эконометрике, то увеличение числа параметров функции приведет к их статистической незначимости и соответственно потребует упрощения вида функции. Если один и тот же фактор вводится в регрессию в разных степенях, то каждая степень рассматривается как самостоятельный фактор. Так, если модель имеет вид полинома второго порядка

y = a + b₁  x₁ + b₂  x₂ + b₁₁  x₁² + b₂₂  x₂² + b₁₂  x₁  x₂ + ,

то после замены переменных z₁ = x₁, z₂ = x₂, z₃ = x₁², z₄ = x₂², z₅ = x₁x₂, получим линейное уравнение регрессии с пятью факторами

y = a + b₁  z₁ + b₂  z₂ + b₃  z₃ + b₄  z₄ + b₅  z₅ + .

Поскольку, как отмечалось, должно выполняться соотношение между числом параметров и числом наблюдений, для полинома второй степени требуется не менее 30-35 наблюдений.

В эконометрике регрессионные модели часто строятся на основе макроуровня экономических показателей, когда ставится задача оценки влияния наиболее экономически существенных факторов на моделируемый показатель при ограниченном объеме информации. Поэтому полиномиальные модели высоких порядков используются редко.

К линейному виду может быть приведена и следующая экспоненциальная модель: , так как или . Далее, логарифмируя обе части равенства, получим: , где можно обозначить через Y, т.е. имеем линейную модель множественной регрессии Y = a + b₁  x₁ + b₂  x₂ + .

№12