6 Основных типов поверхностей второго порядка
С
троятся
методом сечения.
Э
ллипсоидом
называется поверхность, которая в
некоторой системе декартовых прямоугольных
координат определяется уравнением
.
Уравнение называется каноническим
уравнением эллипсоида. Величины a, b, c
суть полуоси эллипсоида.
- трехосный эллипсоид;
-
эллипсоид вращения вокруг оси Oz;
- эллипсоид вращения вокруг оси Oy;
-
эллипсоид вращения вокруг оси Ox;
- сфера. Сечения эллипсоида плоскостями
- либо эллипс (окружность), либо точка,
либо
.
Однополосный гиперболоид
Г
иперболоид,
определяемый уравнением
,
называется однополостным.
Величины a, b, c называются полуосями гиперболоида. Гиперболоид при a=b являются поверхностями вращения. Сечения однополостного гиперболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
Двуполостный гиперболоид
Гиперболоид,
определяемый уравнением
,
- двуполостным. Сечения двуполостного
гиперболоида плоскостями: либо эллипс,
либо гипербола, либо парабола, либо
точка, либо
.
Эллиптический
параболоид
П
араболоид,
определяемый уравнением
,
называется эллиптическим. Сечения
эллиптического параболоида плоскостями
- либо эллипс, либо парабола, либо точка,
либо
.
Гиперболический параболоид
П
араболоид,
определяемый уравнением
,
- гиперболическим. Сечения
гиперболического параболоида
плоскостями - либо гипербола, либо
парабола, либо пара прямых (прямолинейных
образующих).
Конус второго порядка
Каноническое уравнение:
,
a = b - конус вращения (прямой круговой).
Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).
С истемы координат
*Декартовы прямоугольные координаты (R2 (R3) x y (z))
О
- начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy
- ось ординат, Оz - ось аппликат,
- базисные векторы, Oxy, Oxz, Oyz - координатные
плоскости,
- абсцисса точки M (
- проекция точки M на ось Ох параллельно
оси Оy),
- ордината точки M (
- проекция точки M на ось Oy параллельно
оси Ox),
- ордината точки M (
-
проекция точки M на ось
Oz параллельно плоскости
Oxy)..
*Полярные координаты (R2 p(r) ϕ)
О -
полюс, Ox - полярная ось,
- полярный радиус,
-
полярный угол. Главные значения
и
:
(иногда
).
Выражение
декартовых прямоугольных координат
через полярные
В
ыражение
полярных координат через декартовы
прямоугольные
*Цилиндрические координаты (R3)
Главные значения
Связь между декартовыми прямоугольными
и цилиндрическими координатами:
*С
ферические
координаты(R3)
Главные
значения
Иногда вместо
рассматривают
:
Связь
между декартовыми прямоугольными и
сферическими координатами
или
