- •Тема 1. Определители, матрицы, системы
- •П равила вычисления определителей второго и третьего порядка:
- •Свойства определителей:
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •Теорема Лапласа
- •Вычисление определителей высших порядков, правило треугольника.
- •Виды матриц:
- •Основные операции с матрицами и их свойства
- •Ранг матрицы
- •Обратная матрица
- •Теорема о существовании и единственности обратной матрицы
- •Системы линейных алгебраических уравнений (основные понятия)
- •Методы решения
- •Условия применяемости методов
- •Теорема Кронекера-Капелли
- •Однородные системы
- •Фундаментальная система решений
- •Связь между однородной и неоднородной системами решений
- •Тема 2. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
- •Векторная алгебра (основные понятия)
- •Действия над векторами
- •Линейная зависимость и независимость системы векторов (линейная комбинация)
- •Теоремы о единственности разложения любого вектора пространства (r2, r3)
- •Координаты, проекция вектора на ось
- •Декартова система координат
- •Скалярное произведение векторов (определение, свойства, приложение)
- •Векторное произведение векторов (определение, свойства, приложение)
- •Смешанное произведение векторов (определение, свойства, приложение)
- •Соответствие между геометрическими образами и уравнениями.
- •Плоскость в пространстве (типы уравнений, взаимное расположение)
- •Прямая на плоскости и в пространстве (типы уравнений, взаимное расположение)
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Окружность, эллипс, гипербола, парабола (вывод канонического уравнения, исследование кривой)
- •Преобразование системы координат на плоскости (параллельный перенос, поворот)
- •6 Основных типов поверхностей второго порядка
- •С истемы координат
- •Тема 3. Элементы линейной алгебры.
- •Линейное пространство (определение, примеры)
- •Линейная зависимость и независимость системы векторов (линейная комбинация)
- •Базис. Координаты.
- •Изменение координат при замене базиса (матрица перехода)
- •Определение скалярного произведения в линейном пространстве
- •Евклидово пространство (определение, примеры)
- •Неравенство Коши-Буняковского
- •Ортонормированный базис и его построение. Процесс ортогонализации.
- •Линейный оператор и его матрица
- •Зависимость матрицы от базиса
- •Собственные значения и вектора линейного оператора, их зависимость
- •Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов
- •Условия существования базиса из собственных векторов
- •Примеры операторов
- •Квадратичные формы
- •Упрощение общего уравнения линий и поверхностей второго порядка. Приведение их к каноническому виду
- •Тема 4. Введение в анализ
- •Комплексные числа (формы записи, основные операции)
- •Переменные и постоянные величины, множества (основные понятия)
- •Функция (определение, способы задания, свойства)
- •Предел числовой последовательности
- •Предел функции, геометрическая интерпретация
- •У равнения касательной и нормали
- •Гиперболические функции
- •Понятие дифференцируемой функции
- •Формула тейлора
- •Наибольшее и наименьшее значение функции
Тема 1. Определители, матрицы, системы
Определитель (число), детерминант – числовая характеристика для квадратной матрицы.
П равила вычисления определителей второго и третьего порядка:
Определителем второго порядка, соответствующим матрице А, называется число
Аналогично, для определителя третьего порядка:
Определители третьего порядка вычисляются по правилу Саррюса: одно из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком плюс, есть произведение элементов главной диагонали матрицы, каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента их противоположного угла матрицы, а слагаемые со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно побочной диагонали.
Свойства определителей:
При транспонировании матрицы определитель не изменяется
При перестановке каких-либо двух строк/столбцов определитель меняет знак
Если в определителе есть кратное строке/столбцу, то коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя
Если есть нулевая строка/столбец, то определитель равен 0
Если в определителе есть 2 одинаковых столбца/строки, то определитель равен 0
Определитель не изменится, если к любой строке/столбцу прибавить любой другой столбец/строку с любым коэффициентом
Определитель равен сумме произведений элементов каких-либо строк/столбцов на их алгебраическое дополнение
Если все элемента какого-либо ряда определителя, кроме одного, равны 0, то определитель равен этому, не равному нулю элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение
Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов его главной диагонали
Миноры и алгебраические дополнения
Минор – к ai,j называется определитель, получившийся из данной матрицы путем вычеркивания i-строки и j-столбца.
Алгебраические дополнения – к элементу ai,j называется Aij=(-1)i+j * Mij, если i+j – четное, то Aij= Mij, если нечетное - Aij=- Mij,
Теорема Лапласа
Определитель можно разложить по любой строке/столбцу – он равен сумме произведений элементов любой строки/столбца на свое алгебраическое дополнение.
Вычисление определителей высших порядков, правило треугольника.
Правило треугольника:
Разложение по алгебраическому дополнению:
Приведение к треугольному виду:
Преобразование, когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными 0. А определитель матрицы равен произведению элементов на его диагонали.
*****************************************************************************************************
Матрица – упорядоченная по строкам и столбцам совокупность элементов, матрица размером m x n – прямоугольная таблица из чисел aij, состоящая из m строк и n столбцов.
Виды матриц:
Квадратная (m=n)
Прямоугольная (m>n или n>m)
Строчная (m=1)
Столбцовая (n=1)
Диагональная (A=diag (a,b,c) = )
Единичная (A=diag (a,b,c) = )
Основные операции с матрицами и их свойства
Операции (А, В):
Сложение/вычитание – для матриц одинаковой размерности, каждый элемент матрицы суммы равен сумме соответственных элементов матриц А и В
А+В=В+А
А+(В+С)=(А+В)+С
Умножение на коэффициент (α*А) – матрица, получившаяся из матрицы А путем умножения всех элементов на α
α(А+В)=αА+αВ
(αβ)А=α(βА)
Транспонирование матрицы – все строки матрицы меняются на столбцы с такими же номерами
Для любой квадратной матрицы можно сосчитать определитель
Умножение матриц – матрица С, элемент которой, стоящий в i-строке и j-столбце, равен сумы произведений соответственных элементов i-строки матрицы А и j-столбца матрицы В. Умножать можно те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя совпадает с числом строк второго.
Для любой квадратной невырожденной (определитель не равен 0) матрицы можно найти обратную матрицу
, А* из алгебраических дополнений.
Аn=А*А…А
Свойства:
А(В+С)=АВ+АС
А(ВС)=(АВ)С
α(АВ)=(αА)В
(АВ)Т=ВТ АТ
(А+В)Т=АТ+ВТ