15. Условия применяемости методов

Метод Крамера и матричный – только для квадратной невырожденной матрицы

Метод Гаусса – с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы

16. Теорема Кронекера-Капелли

Составляется для линейной алгебраической системы расширенной матрицы. Система имеет решение тогда и только тогда, когда ранг исходной матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы.

Ранг (A|B) = ранг А (имеет решение – совместная система)

При этом:

1. Ранг (A|B) = ранг А= n – единственное решение, n – число неизвестных

2. Ранг (A|B) = ранг А < n – бесконечно много решений

3. Ранг (A|B) ≠ ранг А – нет решений

17. Однородные системы

Однородные системы всегда имеют нулевое (тривиальное) решение, т.к. Ранг (A|B) = ранг А, следовательно система всегда совместна.

Свойства:

AX=0

1. X – решение системы, то αX – тоже решение

AX=0, αAX=0

AαX=α(AX)=0

2. X, Y –решение, то X+Y – решение

AX=0, AY=0

A(X+Y)=AX+AY=0

Вывод – если однородная система имеет какое-то решение, то любая их линейная комбинация также будет решением.

Если система помимо тривиального имеет еще какое-то решение, то она имеет бесконечно много решений.

По методу Крамера:

det_i=0

x_i=0/det, det=0 – бесконечно много решений, det≠0 – единственное нулевое решение

18. Фундаментальная система решений

AX=0, det≠0

В этом случае структуру записи ответа можно представить определенным образом, где c1, c2 – любые константы.

Запись ответа однородной системы в виде линейной комбинации векторов, связанной со свободными переменными, называют фундаментальной системой решений.

Простое решение – двухмерное (совпадает с количеством свободных решений)

19. Связь между однородной и неоднородной системами решений

Неоднородной системе AX=B (решение неоднородной системы) всегда можно в соответствие поставить соответствующую ей однородную систему AX=0 (решение через фундаментальную систему решений однородной системы).

X (общее решение неоднородной) = X (общее решение однородной) + X (частное решение неоднородной)

Тема 2. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.

1. Векторная алгебра (основные понятия)

Скалярные величины характеризуются одним параметром (площадь, объем, давление)

Векторные – двумя – величина и направление (скорость, сила)

Геометрическим вектором a=AB называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. В векторной алгебре рассматривается пространство так называемых свободных векторов.

Длиной вектора a=AB называется длина отрезка AB. |a|=|AB|

Два вектора называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых и имею одну длину.

Два вектора называются коллинеарными, если на параллельных (одной) прямых.

Три вектора называются компланарными, если она параллельны одной плоскости.

2. Действия над векторами

1. Умножение на коэффициент

αa=b

α>0 a↑↑b, α<0 a↑↓b

|b|=|αa|

Свойства:

• α(βa)=(αβ)a

• (α+β)=αa+βa

2. Сложение векторов

a +b=c

П равило параллелограмма

Правило треугольника.

a-b=с a+ (-b)=с

Свойства:

• a+b=b+a

• (a+b)+c=a+(b+c)

• α(a+b)=αa+αb