17. Преобразование системы координат на плоскости (параллельный перенос, поворот)

П араллельный сдвиг координатных осей

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Оху к новой системе О1х1у1, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными. Пусть начало новой системы координат точка О1 имеет координаты (х0;y0) в старой системе координат Оху, т. е. О1 (х0;y0). Обозначим координаты произвольной точки Μ плоскости в системе Оху через (х;у), а в новой системе O1x1y1 через (х';у') (см. рис. 28). Рассмотрим векторы. Следовательно, Полученные формулы позволяют находить старые координаты x и у по известным новым х' и у' и наоборот. С помощью параллельного переноса в уравнении кривой второго порядка можно избавиться от x и y в первой степени (если они были в квадрате). С помощью выделения полного квадрата находится точка переноса.

П оворот координатных осей

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система O₁x₁y₁ получена поворотом системы Оху на угол α.

Пусть Μ произвольная точка плоскости, (х;у) — ее координаты в старой системе и (х';у') — в новой системе.

Поворот позволяет избавиться от смешанного произведения.

П араллельный сдвиг и поворот координат осей

Если новая система координат O1x1y1 получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы

18. Применение преобразований к упрощению уравнений кривых второго порядка.

1. Избавление от смешанного произведения, если оно есть (с помощью поворота)

, ,

2. С помощью параллельного переноса выделяется полный квадрат по x’, если А≠0 и по y’, если C(α₀)≠0

В зависимости от значения и знака коэффициента можно получить любую из известных кривых второго порядка или вариант их вырождения.

19. Поверхности второго порядка (общий вид уравнения)

Поверхности второго порядка это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

R³

к вадратичная форма линейная форма

20. Цилиндрические поверхности

Поверхности, образованные движением прямой, пересекает заданную линию и параллельна заданной прямой.

Линия – направление, прямая – образующая.

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки M0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности S.

Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности. Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр: Параболический цилиндр: Гиперболический цилиндр:

Пара совпавших прямых: Пара совпавших плоскостей: Пара пересекающихся плоскостей: