Наибольшее и наименьшее значение функции
Наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X, который является или всей областью определения функции или частью области определения.
Сам интервал X может быть отрезком
,
открытым интервалом
,
бесконечным промежутком
.
Наибольшим значением функции y =
f(x) на промежутке X называют такое значение
,
что для любого
справедливо
неравенство
.
Наименьшим значением функции y =
f(x) на промежутке X называют такое значение
,
что для любого
справедливо неравенство
.
Эти определения интуитивно понятны:
наибольшее (наименьшее) значение функции
– это самое большое (маленькое) принимаемое
значение на рассматриваемом интервале
при абсциссе
.
Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль. Функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.
Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке [a; b].
Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a; b].
Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a; b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.
Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если таковые имеются), а также при x = a и x = b.
Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми.