98. Расстояние от точки до прямой.

Если прямая задана уравнением [r – r₀, a] = 0, то мы можем найти расстояние h от точки М с радиус-вектором R до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах R – r₀ и а, на длину его основания. Результат запишем формулой:

.

Для прямой в пространстве мы не будем получать координатной записи этого выражения.

Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнением А_х+В_у+С=0 в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть М₀(х₀, у₀) – начальная точка прямой, а М(X, Y) – некоторая точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмем вектор а(-В, А). Из формулы S=|α₁β₂ – α₂β₁| следует, что площадь параллелограмма равна S=|(X – x₀)A – (Y – y₀)(-B)|. Тогда по формуле:

, S = |AX + BY + C| и

Легко заметить также, что при нахождении расстояния от точки до прямой на плоскости можно воспользоваться формулой , считая, что n – нормальный вектор прямой.

99. Расстоянии между прямыми (расстояние между непараллельными прямыми).

П усть прямые p и q не параллельны. Известно, что в этом случае существуют две такие параллельные плоскости P и Q, что прямая p лежит в P, а прямая q лежит в Q. (Если уравнения прямой прямых r - r₁ = ta₁ и r - r₂ = ta₂ , то плоскость имеет начальную точку r₁ и направляющие векторы a₁ и a₂. Аналогично стоится плоскость Q). Расстояние h между плоскостями P и Q называется расстоянием между прямыми p и q. Если p и q пересекаются, то P и Q совпадают и h=0.

Для того чтобы вычислить расстояние h, проще всего разделить объём параллелепипеда, натянутого на векторы r₂ - r₁, a₁ и a₂, на площадь его основания (рисунок). Мы получим:

Знаменатель этого выражения отличен от нуля, поскольку прямые не параллельны.

Предложение 1. Прямые линии с уравнениями r = r₁ + a₁t и r = r₂ + a₂t пересекаются тогда и только тогда, когда h = 0, т. е. (r₂ - r₁, a₁, a₂) = 0 [a₁, a₂] ≠ 0.

100. Расстояние между прямой и плоскостью.

29