54. Сумма, разность векторов, произведение вектора на число. Свойства этих операций.

Линейные операции над векторами.

Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.

b

a+b

a Замечание. Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Свойство 1. a + b = b + a.

Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c).

Свойство 3. Для любого вектора а существует нулевой вектор О такой, что а+О=а.

Свойство 4. Для каждого вектора а существует противоположный ему вектор а^/ такой, что а+а^/=О.

Разностью а – b векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

a a-b

b

Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а при k>0 и противоположное а при k<0.

Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.

Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.

Свойство 3. k(ma) = (km)a.

Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = ka.

55. Угол между векторами.

Угол между векторами

56. Вычисление ортогональной проекции.

Так как , каждый вектор однозначно раскладывается в сумму векторов и . Вектор х₁ называется ортогональной проекцией х на .Легко видеть, что х₂ – ортогональная проекция х на .

Найдем ортогональную проекцию х на в предположении, что в задан некоторый ортогональный базис h₁,…,h_k. Дополним этот базис до ортогонального базиса в пространстве ε, присоединив к нему произвольный ортогональный базис h_k+1,…,h_n из . Так как сумма и прямая, искомое разложение вектора х единственно, и мы, группируя слагаемые в формуле:

получаем: .

Если k = 1, проекция имеет вид х₁ = ((х, h)/|h|²)h, и мы видим, что правая часть формулы – сумма проекций на ортогональные одномерные пространства, натянутые на h₁,…,h_k. Так же истолковывается формула , а значит, равенство Парсеваля является обобщением теоремы Пифагора.

Из (х₁, х₂) = 0 следует .

Длина |х₂| ортогональной проекции х на обладает следующим свойством минимальности, обобщающую теорему о длине перпендикуляра и наклонной из элементарной геометрии.

Предположение: Пусть х₁ – ортогональная проекция х на . Тогда для любого вектора , отличного от х₁, выполнено

.

Доказательство. Обозначив х₁ – у через z, имеем: .

Но (z, x₂) = 0, так как , и, следовательно,

Отсюда непосредственно вытекает доказываемое утверждение.

57. Ортогональная проекция суммы векторов и произведения вектора на число.

58. Линейная комбинация векторов, линейно независимые вектора. Условия линейной зависимости векторов.

Линейной комбинацией векторов а_1, а₂,…,а_n называется выражение вида: k₁a₁ + k₂a₂ +…+ k_na_n, где k_i – числа.

Векторы а_1, а₂,…,а_n называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация k₁a₁ + k₂a₂ +…+ k_na_n = 0. (2),

при k_i не равных нулю одновременно, т.е. k₁² + k₂² +…+ k_n² ≠ 0.

Если же равенство (2) возможно только при всех k_i = 0, векторы называются линейно независимыми.

Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор , то она линейно зависима.

Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы. (Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.)

Замечание 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Замечание 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Замечание 5. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы.