Измерения расстояний.
Простое расстояние измеряется просто – как физическое расстояние между двумя точками.
Пересеченная местность образует фрикционную поверхность (ФП), которая замедляет продвижение, увеличивая время.
Барьеры бывают двух типов: абсолютные, движение через которые невозможно и условные (холмистая местность, мелкие речки, участки леса, которые тормозят движение).
Абсолютные барьеры останавливают или отклоняют движение, в то время как ФП налагают некоторую стоимость на передвижение.
В случае векторных координат для определения расстояний может использоваться серия модификации стандартной теоремы Пифагора.
Для эвклидова (прямолинейного) расстояния между двумя точками:
Однако, если мы не можем двигаться по прямой, т.е. имеется некоторое препятствие, вынуждающее отклоняться от прямой, то формулу (А) можно обобщить в неэвклидову форму:
Манхэттенское расстояние
Поверхности. Методы интерполяции для представления поверхностей.
Поверхности – это объекты, которые чаще всего представляются значениями высоты Z, распределенными на области, определенной координатами Х и У. Параметр Z чаще всего ассоциируется с высотой рельефа местности, но не обязательно.
Обычно используют термин «статистическая поверхность», поскольку значение Z можно трактовать как статистическое представление.
Статистическая поверхность подразумевает такие параметры, как плотность населения, доход, плотность животных, температура, атмосферное давление и т.д.
Линии, соединяющие точки одинаковых значений статистической величины, называются изолиниями.
Интервал между изолиниями выбирается таким, чтобы легче было читать карту с учетом изменения высоты. Для получения Z-значений поверхности используют отобранные точки, и в этом случае карта изолиний называется изометрической. Может использоваться для создания карт атмосферного давления, температуры, плотности населения. Этот тип карт называют картами изоплет.
Интерполяция
Для преобразования точечных значений в непрерывные необходимо использовать интерполяцию. Математической основой интерполяции является прогрессия. Прогрессия – это числа, которые расположены в определенном порядке. Учитывая особенности прогрессии, всегда можно угадать пропущенные числа.
Например, {30, 40, 60, 70, 80, 100}. Если мы знаем, что здесь пропущены два числа, можно догадаться, что это 50 и 90. Это, по сути, и есть линейная интерполяция, используемая для определения неизвестных значений высот между точками с известными значениями высоты.
Метод обратных взвешенных расстояний
Последовательность отсчетов не всегда следует линейному закону. В некоторых случаях она логарифмическая, в других может предсказываться только на небольших участках. Поэтому существуют другие методы интерполяции: метод обратных взвешенных расстояний (ОВР), метод поверхности тренда, крекинг.
Метод интерполяции со взвешиванием по расстоянию.
Метод ОВР исходит из предположения, что чем ближе друг к другу находятся точки данных, тем ближе их значения.
Компьютер должен измерять расстояние между каждой парой точек и от каждой начальной точки. Затем значение высоты в каждой точке взвешивается в зависимости от квадрата расстояния, так что более близкие точки вносят больший вклад в определение интерполируемой высоты.
Для примера на рисунке недостающая величина будет ближе к отметке высоты 350м.
Метод поверхности Тренда
Метод Тренда. Как и в методе ОВР, для поверхностей тренда используют набор точек в пределах заданной окружности. В пределах каждой окружности строится поверхность наилучшего приближения на основе математических уравнений, таких как полиномы или сплайны. Тип используемого уравнения (или степень полинома) определяет величину волнистости поверхности. Например, поверхность тренда первого порядка будет выглядеть как плоскость, простирающаяся под некоторым углом. Если поверхность имеет один изгиб, то такую поверхность называют поверхностью второго порядка.
Крекинг
Метод интерполяции крекинг оптимизирует процедуру интерполяции на основе статистической природы поверхности. Крекинг обрабатывает поверхности, считая их образованными из трех независимых величин.
Первая называется дрейфом, или структурой поверхности, представляет поверхность как общий тренд в определенном направлении.
Далее крекинг предполагает, что имеются небольшие отклонения от этой общей тенденции, вроде маленьких пиков и впадин, которые являются случайными, но все же связанными друг с другом (т.е. пространственно коррелированны).
Наконец, мы имеем случайный шум, который не связан с общей тенденцией и не имеет пространственной корреляции.
Рис. Элементы крекинга