Пример 1.1.

При исследовании зависимости ежедневного спроса на яблоки, продаваемые в розницу, были получены следующие данные:

x (цена за кг, руб.)	25,7	25	23,5	23	22,5	22	21,1	19,4	19,7	20,6	20,2
y (объем продаж, кг)	77	74	72	73	76	75	108	181	139	120	117

Предполагая наличие линейной зависимости между ценой и объемом продаж, оценить ее параметры с помощью МНК.

Для решения задачи составим следующую таблицу:

Таблица 1.1.

Расчет параметров регрессионного уравнения

i	xi	yi	xi2	xiyi
1	25,7	77	660,49	1978,9
2	25	74	625	1850
3	23,5	72	552,25	1692
4	23	73	529	1679
5	22,5	76	506,25	1710
6	22	75	484	1650
i	xi	yi	xi2	xiyi
7	21,1	108	445,21	2278,8
8	19,4	181	376,36	3511,4
9	19,7	139	388,09	2738,3
10	20,6	120	424,36	2472
11	20,2	117	408,04	2363,4
Σ	242,7	1112	5399,05	23923,8

Используя данные таблицы 1.1, запишем систему линейных уравнений вида (1.4):

.

Решая систему, определим оценки параметров уравнения парной линейной регрессии: =406,03 и =13,82. Эти значения можно получить и воспользовавшись формулами (1.5). Таким образом, регрессионную зависимость между объемом продаж яблок и их ценой можно записать следующим образом:

=406,0313,82x

Используя данное уравнение, можно осуществлять точечный прогноз объема продаж в зависимости от установленной цены. Например, при x₀=26:

= 406,0313,8226  46,7 кг.

Отметим, что оценки и параметров парной линейной регрессии, полученные на основе МНК, являются в некотором смысле статистически "идеальными" при условии выполнения исходных классических предпосылок. Это выражается в выполнении трех базовых свойств оценок:

cостоятельности, т. е. и при (МНК-оценки параметров при неограниченном увеличении числа наблюдений стремятся к действительным (теоретическим) значениям этих параметров и, следовательно, становятся более надежными);

несмещенности, т. е. , (систематическая ошибка в определении линии регрессии отсутствует);

эффективности, т.е. эти оценки имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров, линейными относительно величин y_i.