
- •16. Равномерное, показательное, нормальное распределения. Их функции распределения.
- •17. Лемма о нормальном распределении. Критерий независимости дискретной и непрерывной св.
- •18. Случайный вектор. Свойства функций распределения случайного вектора.
- •19. Случайный вектор. Свойства плотности распределения
- •20. Функция двух случайных аргументов. Формула свертки.
- •1. События и операции над ними. Относительные частоты и их свойства
- •2. Аксиомы теории вероятностей. Дискретные пространства элементарных исходов. Классическое определение вероятности.
- •3. Элементы комбинаторики. Основные правила.
- •4. Число выборок, свойства сочетаний, геометрические вероятности.
- •5. Свойства вероятности.
- •6.Условная вероятность.Независимость.
- •7.Формула полной вероятности и Байеса.
- •10.Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •9.Теорема Пуассона.
- •8.Схема независимых испытаний Бернулли. Полиномиальное распределение.
- •11. Случайные величины. Функции распределения и их свойства.
- •12. Дискретные случайные величины. Законы распределения биномиальное, геометрическое и Пуассона.
- •13. Мат ожидание дсв и их свойства.
- •14. Дисперсия, свойства. Начальные и центральные моменты.
- •15. Непрерывные случайные величины. Свойства плотности распределения.
- •21. Числовые характеристики 2-х случайных величин.
- •22. Производящие функции и их свойства.
- •23. Характеристические функции и их свойства.
- •Свойство комплекснозначных случайных величин.
- •Свойства характеристических функций.
- •24. Закон больших чисел в форме Чебышева и Бернулли.
- •25. Центральная предельная теорема.
9.Теорема Пуассона.
Теорема.
Если вероятность р появления события
А в каждом испытании при неограниченном
возрастании числа испытаний n
изменяется таким образом, что некоторое
событие А появится ровно k
раз в n
независимых испытаниях стремится к
величине
,
то есть
.
▲ По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях
8.Схема независимых испытаний Бернулли. Полиномиальное распределение.
Предположим, что
в результате испытания возможны два
исхода: «У» и «Н», которые мы называем
успехом и неудачей.
,
,
p+q=1.
Предположим, что мы производим независимо
друг от друга n
таких испытаний.
Опр. Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.
Элементарным
исходом будет являться: (w1,w2,…,wn),
.
Всего таких исходов 2n.
.
(1) Формула
(1) показывает, что события независимы.
Обозначим через µ число успехов в n
испытаниях Бернулли.
—
вероятность того, что в n
испытаниях произошло k
успехов. Рассмотрим событие
.
По теореме сложения получим
Таким образом,
получим
—формула
Бернулли.
11. Случайные величины. Функции распределения и их свойства.
Опр. Случайной величиной Х называется функция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R.
Множество значений случайной величины обозначается Ωх.
Опр. Функцией
распределения случайной величины Х
называется
функция F(x)
действительной переменной х, определяющая
вероятность того, что случайная величина
Х примет в результате эксперимента
значение, меньшее некоторого фиксированного
числа х.
.
.
Свойство 1.
Функция распределения F(x)–неубывающая
функция, т.е. для
таких что x1<x2
.
Пусть х1
и х2
принадлежат множеству Ωх
и х1<х2.Событие,
состоящее в том, что Х примет значение,
меньшее, чем х2,
т.е.
,
представим в виде объединения двух
несовместимых событий
.
Тогда по теореме сложения вероятностей
получим
,
т.е.
.
Поскольку
,
то
.
12. Дискретные случайные величины. Законы распределения биномиальное, геометрическое и Пуассона.
Опр. Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное число значений, т.е. Ωх—конечно или счетно.
Опр.
Законом
распределения
дискретной случайной величины Х
называется совокупность пар чисел вида
(хi,
рi),
где xi—возможные
значения случайной величины, а
pi—вероятности,
с которыми случайная величина принимает
эти значения, т.е.
,
причем
.
Опр.
Говорят, что дискретная случайная
величина Х имеет биномиальное
распределение с параметрами (n,p),
если она может принимать целые
неотрицательные значения
с вероятностями
.
Опр.
Говорят, что случайная величина Х имеет
распределение Пуассона
с параметром
λ (λ>0), если она принимает целые
неотрицательные значения
с вероятностями
.
Обозначают
,
т.е. случайная величина Х имеет
распределение Пуассона с параметром
λ.
Опр.
Говорят, что случайная величина Х имеет
геометрическое
распределение с параметром р (0<р<1),
если она принимает натуральные значения
с вероятностями
,
где q=1-p.
.