2. Сглаживание динамических рядов методом наименьших квадратов (мнк)

Использование метода скользящей средней позволяют сделать следующий вывод: чем продолжительней интервал сглаживания, тем сильнее усреднение, а поэтому выявляемая тенденция развития получается более плавной.

Изучение основной тенденции развития методом скользящей средней является лишь эмпирическим приемом анализа.

Рассмотренный приём сглаживания динамических рядов может рассматриваться как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других, более строгих методов выявления тенденции.

Для того, чтобы представить количественную модель, выражающую общую тенденцию изменений уровней (значений) динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

В этом случае фактические уровни заменяются уровнями (значениями), вычисленными на основе определенной кривой. Предполагается, что она отражает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.

При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция от времени ŷ_t=f(t), где ŷ – уровни (значения) динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Ниже приводятся различные виды трендовых моделей, наиболее часто используемые для аналитического выравнивания.

Название функции	Описание функции
1.Линейная	ŷt =bo+b1t
2.Парабола второго порядка	ŷt =bo+b1t+b2t2
3.Кубическая парабола	ŷt =bo+b1t+b2t2+b3t3
4.Показательная	ŷt = bob1t
5.Экспоненциальная	ŷt = boeb1t
6.Модифицированная экспонента	ŷt = bo+ b1b2t
7.Кривая Гомперца	ŷt = bob1b2t
8.Логистическая кривая	ŷt =bo/(1+e-b2t)
9.Логарифмическая парабола	ŷt = bob1t b2t2
10.Гиперболическая	ŷt= bo+b1*1/t

Выбор формы кривой во многом определяет результат экстраполяции тренда.

Основанием для выбора вида кривой может служить содержательный анализ сущности развития данного явления.

На практике для этих целей прибегают к анализу графического изображения динамического ряда (линейной диаграммы). Однако из графического представления эмпирических данных не всегда удается произвести однозначный выбор формы уравнения. Поэтому целесообразно воспользоваться графическим изображением сглаженных уравнений (значений), в которых случайные и волнообразные колебания в некоторой степени оказываются погашенными (сглаживание рядов 3-х, 5-ти, 11-ти летними скользящими средними).

При выборе формы уравнения следует исходить из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение тренда, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени надежности оценивания.

Выбор формы кривой может осуществляться и на основе принятого критерия, в качестве которого может служить сумма квадратов отклонений фактических значений от значений, рассчитанных по уравнению тренда. Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное значение критерия, т.е ((у₁- ŷ₁)²+(у₂- ŷ₂)²+…+(у_n- ŷ_n)²)=0→ min

Рассмотрим аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой, т.е. аналитическое уравнение вида ŷ_t =b_o+b₁t, где t – порядковый номер периодов или моментов времени.

Параметры b_o и b₁ прямой рассчитываются по методу наименьших квадратов (МНК). Система нормальных уравнений имеет вид:

Σ₁ⁿ у_i= b_on+ b₁Σ₁ⁿt_i

Σ₁ⁿ у_it_i= b₀Σ₁ⁿt_i+ b₁Σ₁ⁿt_i²

Поиск параметров уравнения можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю (Σ₁ⁿt_i=0). При нечетном числе уровней (значений) ряда динамики для получения Σ₁ⁿt_i=0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (этому периоду или моменту времени придается нулевое значение).

Даты времени, стоящего выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1,-2, -3 и так далее), а ниже – натуральными числами со знаком плюс (+1,+2,+3 и так далее).

Если число уровней динамического ряда четное, периоды времени верхней половины ряда (до середины) нумеруются –1,-3,-5 и т.д., а нижней +1,+3,+4 и т.д.

При этом условии Σ₁ⁿt_i будет равна нулю и система нормальных уравнений примет вид:

Σ₁ⁿ у_i= b_on

Σ₁ⁿ у_it_i= b₁Σ₁ⁿt_i²

Откуда b_o= Σ₁ⁿ у_i/n

b₁= Σ₁ⁿ у_it_i/ Σ₁ⁿt_i²

Пример.

Рассмотрим аналитическое выравнивание по прямой ряда динамики строительства жилья жилищно-строительными кооперативами в России (см. данные табл. 2.2.)

Таблица 2.2.

Годы	Всего построено (млн.кв. м) жилищно-строительными кооперативами
1990	2,9
1991	2,4
1992	2,1
1993	1,9
1994	1,8

Расчет параметров уравнения представлен в табл.2.3.

Таблица 2.3.

Годы	Построено жилищно-строительными кооперативами (млн.кв.м), уi	Условные обозначения периодов, ti	уiti	ti2	Выровненные уровни ряда динамики млн.кв.м, ŷt	уi -ŷt	(уi -ŷt)2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	2	3	4	5	6	7	8
1990 1991 1992 1993 1994	2,9 2,4 2,1 1,9 1,8	-2 -1 0 +1 +2	-5,8 -2,4 0 1,9 3,6	4 1 0 1 4	2,76 2,49 2,22 1,95 1,68	0,14 -0,09 -0,12 -0,05 0,12	0,0196 0,0081 0,0144 0,0025 0,0144
Итого	11,1		-2,7	10	11,10	0,00	0,0590

Используя итоги граф 2,4,5, определим параметры уравнения прямой:

b_o=11,1/5=2,22 b₁=-2,7/10 = -0,27

По рассчитанным параметрам записываем уравнение прямой ряда динамики, характеризующего строительство жилья ЖСК.

ŷ_t=2,22-0,27t

Используя приведенное уравнение, рассчитаем для каждого года теоретические значения:

Для 1990г: ŷ_t=-2=2,22-0,27*(-2) = 2,76 млн.кв.м

1991г: ŷ_t=-1=2,22-0,27*(-1)= 2,49 млн.кв.м

Примечание: правильность расчета уровней выравниваемого ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней выровненного ряда, т.е. Σ₁ⁿ у_i= Σ₁ⁿ ŷ_t (см. итоги гр.2 и 6).

Для выравнивания так же может использоваться парабола второго порядка:

ŷ_t =b_o+b₁t+b₂t²

Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения (при соблюдения принципа отчета от условного начала) будет иметь вид:

Σ₁ⁿ у_i= b_on+ b₂Σ₁ⁿt_i²

Σ₁ⁿ у_it_i= b₁Σ₁ⁿt_i²

Σ₁ⁿt_i²= b₀Σ₁ⁿt_i²+ b₂Σ₁ⁿt_i⁴

Расчет параметров этого уравнения тренда представлен в таблице (предыдущий пример).

Годы	уi	ti	ti2	уiti	уiti2	ti4	ŷi	уi -ŷt
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1990 1991 1992 1993 1994	2,9 2,4 2,1 1,9 1,8	-2 -1 0 +1 +2	4 1 0 1 4	-5,8 -2,4 0 1,9 1,68	11,6 2,4 0 1,9 7,2	16 1 0 1 16	2,889 2,426 2,091 1,886 1,809	+0,011 -0,026 +0,009 0,014 -0,009
Итого	11,1		10	-2,7	23,1	34	11,10	0,00

Подставляя итоги гр.2,4,5, и 7 таблицы получаем следующую систему уравнений для данного временного ряда:

5b₀+10b₂=11,1

10b₁=-2,7

10b₀+34b₂=23,1

Решая систему уравнений, определим значения параметров уравнение параболы второго порядка.

b₀=2,0914; b₁=-0,27; b₂=0,0643

Отсюда уравнение параболы второго порядка, характеризующего тенденцию строительства жилья ЖСК, будет записано так:

ŷ=2,0914-0,27t+0,0643 t_i²