24. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств

Линейным пространством называется множество , состоящее из элементов (эти элементы обычно называют векторами, хотя фактически это могут быть не векторы), на которых определены операция сложения: и операция умножения элемента на число: . При этом указанные операции для любых элементов и любых чисел удовлетворяют следующим восьми аксиомам.

- коммутативность сложения.

- ассоциативность сложения.

- существование нулевого элемента.

- существование обратного элемента.

.

.

.

.

Рассмотрим теперь примеры множеств, являющихся (не являющихся) линейными пространствами.

1) - множество всех векторов на плоскости с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на число (см. Занятие 6). Все восемь аксиом здесь очевидно выполнены. Поэтому множество является линейным пространством.

2) - множество всех векторов на плоскости с началом в точке и концом в верхней полуплоскости с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на число. Это множество векторов не является линейным пространством, т.к. .

3) - множество всех квадратных матриц второго порядка, в котором действуют принятые для матриц операции сложения и умножения на число. Это множество является линейным пространством. Покажем это.

Пусть - произвольные матрицы из множества . .

.

Проверим теперь выполнение аксиом .

.

.

.

.

.

.

.

.

Таким образом, все требования определения линейного пространства выполнены, и значит, - линейное пространство.

4) Опять рассмотрим множество всех квадратных матриц второго порядка. Но в качестве операции сложения возьмем операцию умножения матриц, т.е. знак + между матрицами означает теперь произведение матриц. Операцию умножение матрицы на число оставим обычной. Обозначим полученное множество с введенными операциями . Проверим, будет ли это множество линейным пространством.

Пусть - произвольные матрицы из множества .

.

Однако аксиома в множестве не выполнена (произведение матриц не коммутативно). Следовательно, и можно сделать вывод о том, что не является линейным пространством. Отметим еще, что в множестве не выполнена также аксиома , а все остальные аксиомы выполнены!

5) - множество всех многочленов степени меньше или равно является линейным пространством. Докажем это.

.

Аксиомы выполнены. Элементом в множестве является многочлен тождественно равный нулю, т.е. . Обратным элементом для многочлена является тот же многочлен, взятый с обратным знаком, т.е. . Таким образом, аксиомы также выполнены. Следовательно, - линейное пространство.

6) Рассмотрим множество всех функций вида , с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число. Предоставляем самостоятельно проверить, что данное множество является линейным пространством.

25. Понятие линейной зависимости (независимости) системы векторов. Основные свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Критерий линейной зависимости системы векторов

Вектор , называется линейной комбинацией векторов . Набор чисел называется не тривиальным, если хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Если все числа равны нулю, то такой набор называется тривиальным.

По определению, система векторов линейного пространства называется линейно зависимой, если существует нетривиальный набор чисел , для которого . Если же только при тривиальном наборе чисел (т.е. для любого нетривиального набора ), то система называется линейно независимой.

критерий линейной зависимости системы: система линейно зависима тогда и только тогда, когда один из ее элементов линейно выражается через другие элементы системы.