Линал5
.pdf
Задачи для подготовки к экзамену и контрольной работе по теме № 5 ¾Кривые и поверхности второго порядка¿. (1 семестр)
5:1: Составить уравнение эллипса с фокусами в точках F1(1; 0) и F2( 1; 0) и большой полуосью, равной 2. Сделать чертеж.
5:2: Составить уравнение эллипса с фокусами в точках F1(0; 1) и F2(0; 1) и малой полуосью, равной 2. Сделать чертеж.
5:3: Установить, какую кривую определяет уравнение 5x2 + 9y2 30x + 18y + 9 = 0. Сделать
чертеж. |
|
|
|
|
|
p |
|
p |
|
|
|
5:4: Составить уравнение гиперболы с фокусами в точках F1( |
5 |
; 0) и F2( |
5 |
; 0) |
и действи- |
тельной полуосью, равной 2. Найти асимптоты. Сделать чертеж. |
|
||||
5:5: Составить уравнение гиперболы с фокусами в точках .F1(0; 3) и F2(0; 3) |
и мнимой |
||||
полуосью, равной 2. Найти асимптоты. Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
5:6: Асимптоты гиперболы имеют уравнения 4y 3x = 0, а расстояние между фокусами
|
|
|
|
|
|
В |
|
. |
|
равно 20. Написать ее каноническое уравнение, сделать чертеж. |
|
||||||
5:7: |
|
x2 |
+ |
y2 |
|
. |
|
|
Дан эллипс |
5 |
= 1. Написать уравнение гиперболы, вершины которой находятся |
||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
||
|
в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса. Найти асимптоты гиперболы. |
|||||||
|
Барашев |
|
|
|
||||
|
Сделать чертеж. |
|
|
Е |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
5:8: Установить, какую кривую определяет уравнение 16x .9Оy 64x 18y + 199 = 0. |
||||||||
|
Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
||
5:9: Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F (7; 2) и директриса x 5 = 0.
5:10: Установить, какую кривую определяет уравнение y = 16x2 + 2x 7. Найти ее фокус и директрису. Сделать чертеж.
5:11: Установить, какую кривую определяет уравнение x = y2 + 2y 1. Найти ее фокус и директрису. Сделать чертеж.
5:12: Определить тип поверхности, заданной уравнением x2 +y2 +2x 2y 2z 2 = 0. Сделать чертеж.
5:13: Определить тип поверхности, заданной уравнением x2 + y2 9z2 + 2x 4y = 4. Сделать
чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5:14: Определить тип поверхности, заданной уравнением 4x2 + y2 z2 2y |
= 0. Сделать |
|||||||||||||||||
чертеж. Найти общие точки поверхности и прямой |
x |
= |
y + 4 |
= |
z 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5:15: Определить типСивковаповерхности, заданной уравнением x2 + y2 + z2 + 4x 2y + 10z 19 = 0. |
||||||||||||||||||
Сделать чертеж. Найти общие точки поверхности и прямой |
x + 5 |
= |
y + 11 |
= |
z 9 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
z2 |
||||
5:16: Установить, по какой кривой плоскость x 2 = 0 пересекает эллипсоид |
|
+ |
|
+ |
|
= 1. |
||||||||||||
16 |
12 |
4 |
||||||||||||||||
Найти фокусы полученной кривой. Сделать чертеж.
5:17: Установить, по какой кривой плоскость z + 1 = 0 пересекает однополостный гипер-
болоид x2 y2 + z2 = 1. Найти фокусы и асимптоты полученной кривой. Сделать чертеж.32 18 2
5:18: Установить, по какой кривой плоскость y + 6 = 0 пересекает гиперболический парабо-
лоид x2 y2 = 6z. Найти фокус и директрису полученной кривой. Сделать чертеж.
5 4
1
Дополнительные задачи для подготовки к экзамену по теме № 5 ¾Кривые и поверхности второго порядка¿. (1 семестр)
5:1 : Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осями, проходит через точки p
M1(2; 3) и M2(0; 2). Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки M1 и расстояния от этой точки до директрис.
5:2 : На эллипсе 9x2 + 25y2 = 225 найти точку, растояние от которой до фокуса F2 в четыре раза больше расстояния до фокуса F1 (xF1 < xF2 ).
5:3 : Написать уравнение кривой, по которой движется точка M, если расстояние от нее до точки F (3; 0) остается в два раза меньше расстояния до прямой x + y 1 = 0.
5:4 : Составить уравнения касательных к эллипсу x2 + 4y2 = 20, перпендикулярных прямой
|
2x 2y 13 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
П2 |
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
x2 |
y2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5:5 : |
На эллипсе |
18 |
+ |
8 |
= 1 |
найти точку M0, ближайшую к прямой 2x 3y + 25 = 0 и |
|||||||||||||||
|
вычислить расстояние от точки M0 до этой прямой. |
|
|
|
|
|
|
=.1, найти фокальные |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|||
5:6 : |
Убедившись, что точка M 5; |
|
лежит на гиперболе |
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
16 |
9 |
|||||||||||||||||||
|
радиусы этой точки и ее расстояния до директрис. |
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вx2 |
|
|
|||||||
5:7 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
= 1 |
|
|
||||||
|
Составить уравнения касательных к гиперболе |
|
|
|
|
О, параллельных прямой |
|||||||||||||||
|
16 |
64 |
|||||||||||||||||||
|
10x 3y + 9 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5:8 : |
На гиперболе |
|
|
|
= 1 найти точку M0, ближайшуюЕк прямой |
||||||||||||||||
24 |
18 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Сивкова |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3x + 2y + 1 = 0 и вычислить расстояние от точки M0 до этой прямой. |
||||||||||||||||||||
5:9 : Написать уравнения касательной к параболе x2 = 16y, перпендикулярной к прямой
2x + 4y + 7 = 0.
5:10 : На параболе y2 = 64x найти точку M0, ближайшую к прямой
|
4x + 3y 14 = 0 и вычислить расстояние от точки M0 до этой прямой. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
z2 |
|
|
||
5:11 : |
Доказать, что поверхность |
|
+ |
|
= 2y и плоскость 2x 2y z 10 = 0 имеют одну |
||||||||
9 |
4 |
||||||||||||
|
общую точку, найти ее координаты. |
|
|
||||||||||
5:12 : |
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
20 = 0 пересекает однополостный гипербо- |
|||
Доказать,Барашевчто плоскость 4x 5y 10z |
|
||||||||||||
|
лоид |
|
+ |
|
|
|
= 1 по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих |
||||||
|
25 |
16 |
4 |
||||||||||
|
образующих. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2