11) Кривые второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, неявное задание которых имеет вид: ,

где - заданные вещественные числа, - координаты точек кривой. Наиболее важными линиями среди кривых второго порядка являются эллипс, гипербола, парабола.

Определение эллипса. Эллипсом называется плоская кривая, у которой сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости до любой точки этой кривой есть постоянная величина, независящая от точки (т.е. ). Точки называются фокусами эллипса.

Каноническое уравнение эллипса:

Определение гиперболы. Гиперболой называется плоская кривая, у которой абсолютная величина разности расстояний от двух фиксированных точек плоскости до любой точки этой кривой есть постоянная величина, независящая от точки (т.е. ). Точки называются фокусами гиперболы.

Каноническое уравнение гиперболы: или

Определение параболы. Параболой называется плоская кривая, у которой для любой точки этой кривой расстояние от до фиксированной точки плоскости (называемой фокусом параболы) равно расстоянию от до фиксированной прямой на плоскости (называемой директрисой параболы).

Каноническое уравнение параболы:

где - постоянная, называемая параметром параболы.

12) Поверхность в пространстве

Уравнением поверхности называется такое уравнение между переменными x,y,z , которому удовлетворяют координаты любой точки этой поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей ей.

Уравнение плоскости проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0

ax + by + cz + d = 0 – общее уравнение плоскости.

Уравнение 

называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

- Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

, (1)

где  ,  ,   - направляющие косинусы нормали плоскоти, p - расстояние от начала координат до плоскости. 

Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельны, в частном случае совпадать друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют  собой частный случай пересекающихся плоскостей.

13) Линия в пространстве

Уравнением линии  называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

Переменная t, принимающая различные значения, называется параметром, а уравнение – векторно-параметрическим уравнением прямой.

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Взаимное расположение прямых в пространстве Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.

(x-x0)/m =(y-y0)/n =(z-z0)/p – каноническое ур-ние прямой

параметрические уравнения прямой:

Взаимное расположение прямых в пространстве. Две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельны, совпадать.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке