82. Какая величина называется жесткостью при осевой деформации?

ЕА-жёсткость поперечного сечения при осевой деформации;Е-модуль упругости Юнга [МПа];А-площадь поперечного сечения стержня [м^2].

83. Как изменится абсолютное удлинение круглого стержня, растягиваемого некоторой силой, если уменьшить в 2 раза его длину и диаметр?

уменьшится в 2

84. Как записывается закон Гука при растяжении (сжатии)?

Закон Гука σ=Еε

Е-модуль упругости Юнга [МПа];6-нормальное напряжение [МПа].

epsЕ=дельтаl/l-относительное удлинение.

85. Запишите закон Гука для участка стержня при осевой деформации в случае переменных продольной силы и жесткости. Поясните смысл входящих в формулу величин?

86. Что такое жесткость при осевой деформации?

ЕА-жёсткость поперечного сечения при осевой деформации;Е-модуль упругости Юнга [МПа];А-площадь поперечного сечения стержня [м^2].

87. Как связаны усилия и интенсивность распределенной нагрузки при осевой деформации стержня?

89. Как связаны продольная и поперечная относительные деформации при осевом растяжении (сжатии)?

90. Что такое коэффициент Пуассона? В каких пределах он изменяется для изотропных материалов?

Коэффициент Пуассона – коэф характеризует упругие свойства материала. Для изотропного он

<0,5

91. Какая линейная деформация при растяжении больше: продольная или поперечная?

продольная

92. Какое из приведенных значений коэффициента Пуассона (0,12; 0,52; 0,35; 0,48) не может быть для изотропного материала?

0,52

93. Характеристиками, каких свойств материала являются модуль Юнга и коэффициент Пуассона?

Упругость, жесткость

Механические характеристики материалов при растяжении и сжатии

94. Что называют диаграммой растяжения образца?

Диаграмма растяжения образца позволяет оценить поведение материала образца в упругой и

упруго-пластической стадиях деформирования, определить механические характеристики

материала.

95. Как выглядит диаграмма растяжения образца из пластичного материала?

96. Какое отличие имеет условная диаграмма напряжений от диаграммы растяжения образца? Почему она называется условной?

97. Когда появляется шейка? Как распределяются деформации по длине образца до и после появления шейки?

шейка – появляется в зоне разрушения

98. По каким признакам заключают, что стекло хрупкий материал?

99. Перечислите характеристики прочности материала при растяжении (названия и соответствующие обозначения)

100. Какая величина называется пределом пропорциональности?

Предел пропорциональности σ_пц  — условное напряжение, при котором отступление от линейной зависимости между напряжениями и деформациями достигает определенной степени, устанавливаемой техническими условиями

101. Какая величина называется пределом текучести?

Предел текучести механическое напряжение, отвечающее нижнему положению площадки

текучести на диаграмме деформирования материала.

102. Какая величина называется пределом прочности (временным сопротивлением)?

Предел прочности — механическое напряжение, выше которого происходит

разрушение материала.

103. Какая величина называется истинным сопротивлением разрыву?

Истинное сопротивление разрыву — это напряжение в шейке растягиваемого образца, определяемое как отношение растя­гивающей силы, действующей на образец непосредственно перед его разрывом, к площади поперечного сечения образца в шейке

104. Что называется наклепом?

 Повышение упругих свойств материала за счет предварительного пластического деформирования.

105. До какого наибольшего значения можно довести предел пропорциональности материала с помощью наклепа?

от конца площадки до временного напряжения

106. Что такое пластичность материала?

Способность материала без разрушения получать большие остаточные деформации

107. Какие величины характеризуют пластические свойства материала и как они определяются? Величины характеризующие свойства пластичности : 1) относ остаточное удлинение δ=∆l/l 2)относ остат сужение Ψ=∆А0/А

108. По какому критерию конструкционные материалы делятся на пластичные и хрупкие?

по образованию остаточных деформаций . Пластичные материалы, если δ> 5%, хрупкие – меньше 5%

109. Какие прочностные характеристики материала можно получить при испытании на сжатие чугуна

Малоуглеродистая сталь-Предел пропорциональности и текучести,

110. Какие прочностные характеристики материала можно получить при испытании на сжатие чугуна

Чугун - предел прочности

111. Почему при испытаниях на сжатие применяют короткие образцы?

Применение высоких образцов невозможно, так как такие образцы будут изгибаться

112. Чем объясняют образование бочкообразной формы при сжатии у образцов из малоуглеродистой стали ?

Бочкообразность образца при сжатии возникает из-за трения между контактирующими поверхностями образца и нажимных плит

113. По каким признакам при сжатии можно отличить пластичный материал от хрупкого?

Хрупкие разрушается в отличии от пластичного , который вначале приобретает бочкообразную форму затем сплющивается в лепешку)

114. Как по диаграмме растяжения определить остаточное удлинение?

Диаграмма растяжения образца – это график, автоматически вычерчиваемый испытательной машиной, у которого по оси абсцисс откладывается удлинение, а по оси ординат – сила.

Полное остаточное удлинение L= l₁-l₀ . относительное остаточное удлинение δ = Δl_ост/l₀*100%

115. Как по диаграмме растяжения определить упругое удлинение?

116. Что понимают под наклепом материала?

Наклёп (нагартовка) — упрочнение металлов и сплавов вследствие изменения их структуры и фазового состава в процессе пластической деформации при температуре ниже температуры рекристаллизации.

117. Как наклеп влияет на прочностные и пластические свойства материала?

прочностные характеристики металла повышаются, пластические – уменьшаются

118. Что такое площадка текучести?

Это участок на диаграмме, где криволинейная часть переходит в почти горизонтальную, деформации растут практически без увеличения нагрузки. Нагрузка в конечной точке используется при определении физического предела текучести

119. Перечислите упругие постоянные материала. Приведите формулу, связывающую упругие постоянные

Модуль сдвига модуль юнга и коэф. пуассона : G=E/2(1+ν)

120. Напишите формулу, поясняющую понятие полное напряжение.

Полное напряжение p, как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σ_n и касательное к площадке – касательное напряжение n. Здесь n – нормаль к выделенной площадке1.

Касательное напряжение, в свою очередь, может быть разложено на две составляющие, параллельные координатным осям x, y, связанным с поперечным сечением – nxny. В названии касательного напряжения первый индекс указывает нормаль к площадке,второй индекс — направление касательного напряжения.

   

за единицу напряжения принят паскаль (Па)

121. Поясниете смысл индекса полного напряжения.

 первый индекс у напряжения говорит о том что она действует на площадке с нормалью параллельной оси х, а второй о том что вектор напряжений параллелен оси у. у нормального напряжения оба индекса совпадают поэтому ставится один индекс

122. Что называется нормальным и касательным напряжениями?

Полное напряжение p, как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σ_n и касательное к площадке – касательное напряжение 

123. Что такое тензор? Приведите примеры тензорной природы

Те́нзор (от лат. tensus, «напряженный») — объект, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т. П

124.Запишите выражение тензора напряжений и дайте полное название одной из его компонент, расположенной на диагонали

Те́нзор напряже́ний — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных осях, а в остальных позициях — касательные напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях. Компоненты , ,, обозначаемые также как , , — это нормальные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы  на нормаль к площади рассматриваемой грани :

 и т. д.

         

125. Запишите выражение тензора напряжений и дайте полное название одной из его компонент, расположенной вне диагонали

Те́нзор напряже́ний — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных осях, а в остальных позициях — касательные напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.

Компоненты , ,, обозначаемые также как , , — это касательные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы  на касательные направления к площади рассматриваемой грани :

 и т. д.

126. Опишите правило знаков для компонент напряжения для площадки с положительной нормалью

Для компонент тензора напряжений общепринятым является следующее правило знаков: компонента считается положительной, если на площадке с положительной внешней нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных осей) эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси.

127. Опишите правило знаков для компонент напряжения для площадки с отрицательной нормалью

На площадках с отрицательной внешней нормалью (грани параллелепипеда, не видимые ) положительная компонента направлена в противоположном направлении. Напряжения на трех взаимно ортогональных площадках с отрицательными направлениями нормалей также характеризуют напряженное состояние в точке. Эти напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений, определяются аналогично напряжениям на площадках с положительной нормалью.

128. Что такое напряженное состояние в точке и как оно количественно оценивается?

Напряженным состоянием тела в точке называют совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам (сечениям), содержащим данную точку. Количественно оценивается сложной физич величиной – тензором напряжений, компонентами которого являются нормальные а касательные напряжения, действующие на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку

129. Сколько существенно различных компонент у тензора напряжений и почему?

у тензора девять компонент представлены матрицей с нормальным и касательным напряжением , первый индекс у компонент тензора соответствует номеру координатной поверхности, второй – направлению действия

130. Сформулируйте закон парности касательных напряжений?

Закон парности касательных напряжений устанавливает зависимость между величинами и направлениями пар касательных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам элементарного параллелепипеда.

131. На гранях элементарного параллелепипеда, параллельных плоскости хОz покажите положительные направления действующих на них напряжений

если по граням выделенного элементарного параллелепипеда действуют одни только нормальные напряжения, то они называются главными напряжениями

132. Какие напряжения называются главными?

Площадка, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной площадкой. Нормальное напряжение на главной площадке называется главным напряжением в точке

133. Какое существует соотношение между главными напряжениями?

Главные напряжения связаны между собой так : σ1≥σ2≥σ3 ( с учетом знака)

134. Как обозначаются главные напряжения и как индексируются?

135. Какие площадки называются главными?

главные площадки – площадки, где действуют экстремальные для точки нормальные напряжения, касательные напряжения равны нулю.

136. На каких площадках отсутствуют касательные напряжения?

касательные напряжения отсутствуют на главных площадках

137. Как записывается условие существования главных площадок? К какому уравнению оно приводит?

138. Как записывается условие существование главных площадок в случае объемного напряженного состояния? К какому уравнению оно приводит?

139. Как записывается условие существования главных площадок в случае плоского напряженного состояния?

140. Каким условием определяется ориентация главных площадок при плоском напряженном состоянии?

141. По какой формуле вычисляются главные напряжения при плоском напряженном состоянии?

142. Решением какого уравнения являются главные напряжени? Чем являются коэффициенты и свободный член этого уравнения?

143. Сколько главных площадок можно провести через точку деформируемого тела, как они ориентированы по отношению между собой?

3, под 90градусов

144. Возможен ли случай, когда для точки деформируемого тела можно найти более 3-х главных площадок?

145. На каких площадках нормальные напряжения достигают экстремальных значений?

Наибольшие нормальные напряжения действуют в поперечных сечениях стержня

146. Какие величины называются инвариантными?

инвариантная величина - величина, значение которой в некотором процессе не изменяется с течением времени.

147. Что называется инвариантом тензора напряжений?

148. Чему равен первый инвариант тензора напряжений

первый инвариант I₁=σ_y+σ_z+σ_x

149. Как выглядит тензор напряжений если оси координат совпадают по направлению с главными напряжениями

σ =

150. Чему равно наибольшее касательное напряжение в точке тела и на какой площадке действует?

Наибольшее касательное напряжение: Оно действует по площадке параллельной главному

напряжению s2 и наклоненной под углом 45о к главным напряжениям s1 и s3.

_max=

151. Какие типы напряженных состояний в точке тела вы знаете? По какому признаку они различаются?

по числу ненулевых главных напряжений различают линейное (1 ненулевое глав напр) плоское (2 ненулевых глав напр) и объемное (3) напряженное состояние. По сочтанию направлений : одноименные( все ненулевые главные напряжения направлены в одну сторону , те все растягивающие или все сжимающие) и разноименные.

152. На каких площадках растянутого стержня возникают наибольшие нормальные и на каких наибольшие касательные?

Экстремальные касательные напряжения равны полуразности главных

напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным площадкам под

углом 45 градусов

Наибольшие нормальные напряжения действуют в поперечных сечениях стержня

153. Какое напряженное состояние называется чистым сдвигом?

Частным случаем плоского напряженного состояния является такой, при

котором на взаимно-перпендикулярных площадках действуют только касательные

напряжения . Такой случай называется чистым сдвигом, а исходные площадки называются площадками чистого сдвига

Главные площадки оказываются наклоненными к площадкам чистого сдвига под углом 45, а

главные напряжения численно равны касательным напряжениям

σ2=0 , τ = σ₁ , -τ=σ₃

154. Что такое деформированное состояние в точке тела и как количественно оно оценивается?

совокупность относительных удлинений и углов сдвига для всевозможных направлений осей проведенных через данную точку называется деформированным состоянием в точке.

155. Какую величину называют относительным удлинением в точке тела по направлению r?

156. Какую величину называют относительным сдвигом между направлениями r1 r2 ?

157. Запишите выражение тензора деформаций и дайте полное название одной из его компонент расположенной вне диагонали

тензором деформаций:

,

где линейные деформации

,,

и угловые деформации

,,.

158. запишите выражение тензора деформаций и дайте полное название одной из его компонент расположенной вне диагонали

тензором деформаций:

,

где линейные деформации

,,

и угловые деформации

,,.

159. Какие оси называются главными осями деформаций?

главные оси деформаций – деформации ε1, ε2, ε3(относ. Удлинения) в направлениях для которых отсутствуют углы сдвига

160. Как выглядит тензор деформаций, если оси координат совпадают по направлению с главными осями деформаций?

,

161. Каков физический смысл уравнений Сен-Венана?

физический смысл уравнения сен-венана : тело, сплошное и непрерывное до деформации, остается сплошным и непрерывным и после деформации

162. В чем состоит математический смысл уравнений Сен-Венана?

163. Запишите закон Гука для случая линейного напряженного состояния

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде (нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформации ):

.                                                                                                                                           (2.6)

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости материала первого рода (модуль продольной упругости)

164. Запишите закон Гука при чистом сдвиге

закон Гука для сдвига:

где величина  называется модулем сдвига или модулем упругости материала второго рода.  = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона. Вели­чина  является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов  принимает значе­ния 0,1...0,45.

165. Запишите обобщенный закон Гука

Запишите обобщенный закон Гука

166. Какие величины связывает между собой обобщенный закон Гука?

обобщенный закон Гука  устанавливает линейную связь между напряжениями и деформациями в любых направлениях, т.е. между каждым компонентом тензора напряжений и каждым компонентом тензора деформаций

167. В каких единицах измеряется модуль Юнга?

В системе СИ модуль Юнга измеряется в Па(паскалях)

168. В каких единицах измеряется модуль сдвига?

В международной системе единиц модуль сдвига измеряется в паскалях (на практике - в гигапаскалях)

169. В каких единицах измеряется коэффициент пуассона?

безразмерен

170 Как связаны между собой модули Юнга, сдвига и коэффициент Пуассона?

где G-мод сдвига Е-Юнга м-Пуассона

Гипотезы прочности

171. Зачем нужны гипотезы (теории) прочности?

Гипотеза прочности-г. О причине разрушения материала или возникновения с нем состояния текучести позволяющая оценить прочность материала при любом напряженном состоянии если из опыта известна его прочность при простом растяжении

172. Какие Вам известны классические гипотезы хрупкого разрушения?

Это гипотезы наибольших нормальных напряжений и наибольших линейных деформаций σ(галилей) и ε(мариотт)

173. Какие вам известны классические гипотезы пластичности?

Гипотезы наибольших касат напряж τ(кулон) и удельной потенц энергии формоизменения Uф (губер)

174. Что такое эквивалентное (расчетное) напряжение?

Это напр, которое следует создать в растянутом образце что бы его стояние было равноопасно с заданным напряженным состоянием. По смыслу это лишь некоторая услов величина а не к-л реально возникающее напряжение. Его значение зависит не только от заданного напряженного состояния но и от принятого критерия прочности

175. Какое состояние считается опасным в соответствие 1 гипотезы прочности?

Опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда когда наибольшее из главных напряжений достигает величины соответствующей пределу прочности при простом растяжении

176. как определяется эквивалентное напряжение по 1 гипотезе прочности?

σэкв = =σ_о где σ_о – опасное напряжение

177. Какое состояние считается опасным в соответствии 2 гипотезы прочности?

178. как определяется эквивалентное напряжение по 2 гипотезе прочтности?

σ_экв = (σz + σy) + ≤R

179. Какое состояние считается опасным в соответствие 3 гипотезы прочности?

180. как определяется эквивалентное напряжение по 3 гипотезе?

, σэкв =

181.

182. Как определяется эквивалентное напряжение по 4 гипотезе прочности?

σэкв =

КРУЧЕНИЕ

183. Какой вид деформации стержня называется кручением?

Кручение-это такой вид деформации,когда на стержень действуют сосредоточенные пары сил,расположенных в плоскостях,перпендикулярных к его оси.

184. Какой вид деформации испытывает стержень,если на него действуют сосредоточенные пары сил,расположенные в плоскостях,перпендикулярных к оси?

Кручение

185. Что называют крутящим моментом и как определяется его знак?

Крутящий момент-силовой фактор в поперечном сечении стержня, который возникает при кручении.Моменты положительны,если они создают вращение против часовой стрелки при взгляде с положительного конца соответствующей оси.

186. Какие внутренние усилия возникают в поперечном сечении вала при кручении?

Мz-крутящий момент

187. Как связаны усилие и интенсивность распределенной нагрузки при кручении

188. Какие предположения лежат в основе теории кручеия круговых валов?

При кручении валов кругового поперечного сечения касательные напряжения направлены перпендикулярно радиусу соединяющему центр тяжести с рассматривающими точками.

189. как выражается закон гука при сдвиге

З.гука устанавливает линейную зависимость между сдвиговой деформацией γ и касательным напряжением τ те имеет вид τ=Gγ где G – модуль сдвига

190. характеристикой каких свойств материала является модуль сдвига? Какая существует связь между упругими константами изотропного материала?

Модуль сдвига является упругой константой материала и выражается : G=E/2(1+ν)

191. Запишите условие статической эквивалентности для крутящего моментаэ.

Mz=интеграл(А) тау(Г)*ро(р)*d

192. По каким признакам проверяется правильность построения эпюры крутящего момента?

В эпюре Mx должны быть скачки,равные по величине приложенным моментам.

193. Какие напряжения возникают в поперечном сечении вала при кручении?

Касательные напряжения

194. По какому закону распределяются при кручении касательные напряжения в поперечном сечениях круглого вала в области упругих деформаций?

Распределяется по радиусу по линейному закону

195. В каких точках поперечного сечения круглого вала возникают наибольшие касательные напряжения и как они определяются?

Максимальное касательное напряжение действует по контуру вала.

Тау(Г)=Mz/Ip*po(p)_max,где Mz[Н*м]-крутящий момент,Ip[м^4]-полярный момент инерции сечения,po(p)_max[м^2]-площадь поперечного сечения

196. В каких точках поперечного сечения круглого вала возникают наибольшие касательные напряжения и как они определяются?

Максимальное касательное напряжение действует по контуру вала.

τmax=Mz/Ip*ρmax,где Mz[Н*м]-крутящий момент,Ip[м^4]-полярный момент инерции сечения,ρmax[м^2]-площадь поперечного сечения

197. Что такое полярный момент инерции и полярный момент сопротивления(момент сопротивления при кручении)?Какова размерность этих величин?

Полярный момент инерции Ip=интеграл(A)ρ^2*dA[м^4].Полярный момент сопротивления-отношение полярного момента инерции к наибольшему радиус-вектору площади.Wp=Ip/ρmax|[м^3]

198. . Как записывается при кручении условие прочности для круглого вала и какие задачи оно позволяет решать?

τmax=|Mz|max/Wp≤[τ],где Wp-полярный момент,Тmax-максимальное касательное напряжение,[Т]-допускаемое касательное напряжение.Расчёт на прочность,определить размеры вала,определить максимально допустимый крутящий момент.

199. какая выгода достигается при использовании полых валов?

В сплошных валах часть материала располож вблизи оси малонагружена. Поэтому часто она совершенно удаляется, что приводит к сниж веса. При равной прочности полый вал вдвое легче сплошного.

200. Какое сечение при кручении более рационально-круг или кольцо?Почему?

Более рационально кольцевое сечении,т.к. в сплошном валу материал,находится в центральной части в значительной степени недогружен,его вклад в прочность вала мал.

201.какая величина характеризует рациональность формы поперечного сечения при кручении?

202. какая величина называется удельным моментом сопротивления при кручении, ее размерность?

203. По какой формуле определяется угол закручивания круглого вала при постоянном по длине крутящем моменте?

ϕ=(Mz*l)/(G*Ip),где Mz-момент кручения[кН*м],G-модуль сдвига[Па],Ip-полярный момент инерции[м^4

204. Какую величину называют жёсткостью поперечного сечения при кручении и какова его размерность?

Жёсткость-способность элемента воспринимать нагрузки без недопустимости упругих деформаций.[рад/м]

205. . Как формулируется условие жёсткости при кручении круглого вала?

Тэта(O)=|Mz|max/(G*Ip)<-[O],Ip-полярный момент,Mz-крутящий момент,G-модуль сдвига

206. какое напряженное состояние возникает при кручении круглого вала? По каким площадкам действуют максимальные касательные напряжения и по каким максимальные нормальные?

Во всех точках круглого вала возникает состояние чистого сдвига. Макс напряжения имеют месо в точках примыкающих к наружной поверхности. Касательные напряжения действуют в поперечных сечениях и на перпендикулярных к ним продольных площадках. Нормальные напряжения равные по величине касательным, возникают на площадках, наклоненных под углом 45 к образующим.

207. Справедлива ли гипотиза плоских сечений для стержней при кручении вала не кругового сечения?

не справедлива

208. . Справедлива ли гипотиза плоских сечений для стержней при кручении вала кругового сечения?

Справедлива

209. Выполняется ли гипотиза плоских сечений при кручении вала прямоугольного сечения?

Не выполняется,т.к. сечение депланируют

210. Что такое депланация поперечного сечения вала?

Депланация-искревление поперечного сечения вала

211. Статический момент площади относительно некоторой оси ,единица измерения.

Выражение называют статическим моментом площади. Координаты центра тяжести можно выразить через статический момент

212 Что такое центр тяжести площади. Формула для определения положения центра тяжести в осях x,y

Наименование	Расчетная схема	Площадь	Координаты центра тяжести
Круг
Прямоугольник
Треугольник

213. Какая ось называется центральной? Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.

214. Чему равен статический момент относительно центральной оси?

Статический момент сечения относительно любой его центральной оси равен нулю. 

Статические моменты сечения равны нулю относительно центральных осей. При практических расчетах редко приходится вычислять статические моменты путем интегрирования.

215. Определение центра тяжести составной фигуры.

Нужна найти цетры для каждой из фигур

216. Как вводится понятие осевых и центробежного момента инерции для плоской фигуры, их размерность.м³

Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси , лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси:

Осевой момент инерции сечения относительно оси Ох:

Осевой момент инерции сечения относительно оси Оy :

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

• m_i — масса i-й точки,

• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

где:

•  — масса малого элемента объёма тела ,

•  — плотность,

•  — расстояние от элемента  до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

217. Как вводится понятие «полярный момент инерции»?

Полярным моментом инерции сечения  называется интеграл по площади произведения элементарной площадки на квадрат расстояния до начало координат.Учитывая, что , получаем .Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов инерции сечения. Полярный момент инерции представляет собой отношение полярного момента инерции к наибольшему расстоянию от центра тяжести сечения до наиболее удаленной точки сечения.

Вычислим осевые и полярный моменты инерции тела. Пусть имеем твердое тело, разобьем его на отдельные точки и возьмем точку Аj с координатами xj, yj, zj (рис. 3), по определению момента инерции  но , тогда

 аналогично  и 

218 Как связаны между собой полярный и осевые моменты инерции?

 Сумма осевых моментов инерции относительно двух любых ортогональных осей равна полярному моменту инерции относительно начала координат