29. Параметрический способ задания функции. Параметрическое уравнение окружности, эллипса.

Пусть даны две функции: х=(t), y=(t) (1)

одной независимой переменной t, определенные и непрерывные в одном и том же промежутке. Если х=(t) строго монотонна, то обратная к ней функция t=(х) однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассм как функцию, зависящую от переем t, называемой параметром: y= (х) . В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически с помощью уравнения (1).

Отметим, что функция непрерывна в силу теоремы о непрерывности сложной функции.

Пример 2 Пусть х =a cos t, y= b sin t (0t2)

Данные равенства являются параметрическими уравнениями эллипса, т.к. эллипс получается из окружности радиуса а сжатием ее в a/b раз вдоль оси Оу. Из примера 1 следует, что параметрическими уравнениями окружности х²+у²=r² явл-ся уравнения х =a cos t, y= b sin t (0t2). Итак, параметрические уравнения эллипса получаются из параметрических уравнений окружности умножением правой части уравнения для ординаты у на b/a и имеют вид: х =a cos t, y= b sin t (0t2). Можно поступить проще. Исключая из этих уравнений параметр t(разрешая их относительно cost и sint, возводя полученные не равенства в квадрат и складывая), получаем:

(х/а)² + (у/b)² = cos²t + sin²t = 1 –уравнение эллипса.