Площадь многоугольника

Выполнили студенты 341 группы Галкин М., Шабашова С.

Оглавление

Обзор математической и методической литературы по теме: «Площадь многоугольника» 3

I. Обзор математической литературы 3

II. Обзор методической литературы 3

Анализ теоретического материала 4

Анализ задачного материала 7

Учебные задачи и диагностируемые цели темы 11

Конспект урока по теме: Площадь многоугольника 13

Летучка 23

Канва-таблица 24

Обзор математической и методической литературы по теме: «Площадь многоугольника»

1. Обзор математической литературы

1. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.

стр. 238-240 сведения о понятии площади многоугольника.

2. Математический энциклопедический словарь. - М. «Советская энциклопедия», 1988. Сведения о понятии площади многоугольника.

2. Обзор методической литературы

1. Глейзер Г. И. История математики в школе: 7-8 классы. - М.: Просвещение, 1982.

История возникновения и развития понятия площадь.

2. Юшкевич А. П. История математики: C древнейших времен до начала нового времени. – М : Наука, 1970.

История возникновения и развития понятия площадь.

3. Чичигин В. Г. Методика преподавания геометрии: Пособие для учителей средней школы – М.: Учпедгиз, 1959. cтр. 365-380

Глава 15 “Площади плоских фигур”. Рассматриваются различные способы изложения темы о площади прямоугольника, дается примерный план изучения темы “Измерение площади многоугольника”.

4. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ВАКО, 2010.(В помощь школьному учителю).

В пособие есть подробное поурочное планирование по геометрии для 8 класса по теме «Площадь». Издание ориентировано на работу с базовым учебником Л.С. Атанасяна и др. Геометрия: 7-9 кл. (М.: Просвещение). В данном пособии стр. 95

5. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю. А., Некрасов В. Б., Юдина И. И. Изучение геометрии в 7-9 классах: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 2009.

Книга содержит комментарий к теоретическому и задачному материалу и методические рекомендации по проведению урока.

6. Григорьева Т. П., Ионова Н. М., Кирьянова О. К., Перевощикова Е Н. В помощь учителю математики: Методические рекомендации по диагностике развития учащихся 8-х классов при обучении математике. – Н. Новгород: НГПУ, 1996.

Книга содержит методическую помощь студентам и учителям в плане реализации идей развивающего обучения. В ней выделены основные методологические вопросы темы “Площадь многоугольника”, сформулированы диагностируемые цели, представлены различные задания по теме “Площадь многоугольника”.

4 балла

Анализ теоретического материала

Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – 3-е изд. М. : Просвещение, 1992

Стр. 114 – 120, глава 6, §1

Основными дидактическими единицами темы являются

• понятие площади многоугольника;

• свойства площади;

• теорема: площадь прямоугольника.

В учебнике Атанасяна Л. С. предпринята попытка конструктивного введения понятия площади многоугольника.

Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом, которое показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.

Определить площади можно с помощью палетки - прозрачной пластинки с нанесенной на нее сеткой из равных квадратов.

Теоретический материал темы организован дедуктивно. Основное понятие темы, площадь многоугольника определяется аксиоматически (как действительное число, удовлетворяющее свойствам 1-4:

1. 

2. Если , то (свойство инвариантности площадей)

3. , где – многоугольник, составленный без перекрытий из многоугольников (свойство аддитивности площадей)

4. , где E – квадрат со стороной, равной выбранной единице длины.)

Аналогичным образом ранее вводилось понятие длины отрезка. Аналогия наблюдается и в описании процедур измерения отрезков и площадей. Таким образом, введение нового понятия по аналогии с ранее изученным будет формировать у учащихся обобщенное понятие геометрической величины.

При доказательстве теоремы о площади прямоугольника учащиеся впервые встречаются с методом “разбиения и дополнения”, которым решаются и многие задачи темы. Выделение этого метода и анализ условий его применения будет способствовать осознанию необходимости и сущности дополнительных построений в процессе поиска решения задач, сводящихся к установлению соотношений между площадями многоугольников.

Основные положения, лежащие в сущности метода разбиения:

• Если многоугольник М разбить на многоугольники М₁, М₂, …,М_n, далее сконструировать из них фигуру N, то S_M=S_N, т. е. равносоставленные фигуры равновелики;

• Если многоугольник N разбить на многоугольники двумя различными способами: и , то из равенства будет следовать равенство S_С=S_D;

• Если многоугольник М разбить на многоугольники М₁, М₂, …,М_n, а многоугольник N разбить на многоугольники N₁, N₂, …,N_k, то из равенства будет следовать равенство S_M=S_N.

Основные положения, лежащие в сущности метода дополнения:

• Если многоугольник М дополнить равновеликими с ним многоугольниками М₁, М₂, …,М_n-1 до многоугольника N, то ;

• Если многоугольник А дополнить многоугольниками М₁, М₂, …,М_n до фигуры M, а многоугольник В дополнить многоугольниками N₁, N₂, …,N_k до фигуры N таким образом, чтобы выполнялись условия S_M=S_N и , тогда S_A=S_B.

Теорема: площадь прямоугольника, равна произведению его смежных сторон.

Категоричная форма формулировки.

Условие: прямоугольник.

Заключение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то есть .

Разъяснительная часть: выполняется для любого произвольного прямоугольника.

Формулируем в условной форме: Если дан прямоугольник, то площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то есть .

Теорема простая (теорема формула).

Основная идея доказательства: достраивание до квадрата, а затем использование свойств площадей. Используется метод “дополнения” и алгебраический метод.

Можно привлечь дополнительный материал с целью знакомства учащихся с историей возникновения и развития понятия площадь.

Теорема: площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Категоричная форма формулировки.

Условие: квадрат.

Заключение: площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть .

Разъяснительная часть: выполняется для любого квадрата.

Формулируем в условной форме: Если дан квадрат, то площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть .

Теорема простая (теорема формула, свойство).

8 баллов