17. Однородная система линейных уравнений. Свойства ее решений.

Однородные системы линейных уравнений 

     Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rankA < n.

     Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

     Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения   образуют нормированную фундаментальную систему.

     В линейном пространстве   множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r;   - базис этого подпространства.

14.5.4. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения (25).  14.5.4.1. Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.  Док-во. Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (25) (или, что тоже самое, (21)), т.е. не менее n раз дифференцируемых функций y(x) для которых L_n(y) = 0, является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции y, y₁(x), y₂(x) - частные решения (25), то функции Cy, y₁(x) + y₂(x) - тоже частные решения (25). Действительно, пользуясь свойствами пункта 14.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства, получим  если L_n(y) = 0, то L_n(Cy) = CL_n(y) = 0;  если L_n(y₁) = 0 и L_n(y₂) = 0, то L_n(y₁ + y₂) = L_n(y₁) + L_n(y₂) = 0.  Следствие. Если y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - частные решения уравнения (25), то их линейная комбинация C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) - тоже частное решение этого уравнения.

Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения (25).  Теорема 14.5.4.2. Пусть y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке  , то система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).  Док-во. Пусть  . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W(x₀) является определителем, имеет нетривиальное решение относительно C₁, C₂, …, C_n. Рассмотрим линейную комбинацию функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) с этими коэффициентами C₁, C₂, …, C_n: y(x) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x). Эта функция удовлетворяет уравнению (25) и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x₀, т.е. является решением задачи Коши  ,    Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y(x) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a, b). Вследствие единственности решения задачи Коши y(x) = C₁ y₁(x) + C₂y₂(x) + …+ C_n y_n(x) = 0 для  . Таким образом, система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно зависима на (a, b), и по Теореме 14.5.4 о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).  Теорема 14.5.4.3. Если определитель Вронского W(x) системы y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке  , то W(x) отличен от нуля в любой точке этого интервала.  Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке   определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (a, b), что противоречит условию  .  Содержание двух предыдущих теорем можно изложить так:  Теорема 14.5.4.4. Если W(x) - определитель Вронского системы y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо   на интервале (a, b) (что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо   в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)).