36. Уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости в отрезках

, где  ,   и   - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях  ,   и   соответственно.

Уравнение плоскости в отрезках.  

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D  , заменив  , получим уравнение плоскости в отрезках:    Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

37. Нормальное уравнение плоскости, Расстояние от точки до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

В векторной форме уравнение плоскости имеет вид

 ,           .

 

 Если нормальный вектор плоскости – единичный,

 ,   ,

 

 

тогда уравнение плоскости можно записать в виде

 

 

(нормальное уравнение плоскости).

  – расстояние от начала координат до плоскости,   ,   ,    – направляющие косинусы нормали

    ,   ,   ,

 

 

где    – углы между нормалью плоскости и осями координат    соответственно.

Общее уравнение плоскости (8) может быть приведено к нормальному виду умножением на нормирующий множитель   , знак перед дробью противоположен знаку свободного члена    в (8).

Расстояние от точки    до плоскости (8) находится по формуле, полученной подстановкой точки в нормальное уравнение

 .               

 

Пример 16. Даны точки   ,   ,   . Составить уравнение плоскости, проходящей через    перпендикулярно вектору   . Привести его к нормальному виду.

Решение. Вектор    имеет вид   . По формуле (6) составим общее уравнение искомой плоскости

     .

Найдем нормирующий множитель

    .

 

Умножая уравнение плоскости почленно на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение плоскости

                                ,

 

где коэффициенты при    – соответствующие направляющие косинусы нормали, расстояние от начала координат до плоскости   .

Ответ: общее уравнение плоскости:   ; нормальное уравнение:   .

Пример 17. Даны точки   ,   ,   . Найти расстояние от точки    до плоскости   .

Решение. Составим уравнение плоскости 

                               ,

 

                               .

 

Расстояние от    до плоскости 

                               .

 

Ответ: расстояние от    до плоскости        ед. длины.

Расстояние от точки до плоскости

        Предложение 11 . 1   Пусть плоскость   задана уравнением  и дана точка   . Тогда расстояние   от точки  до плоскости   определяется по формуле   ( 11 .7)          Доказательство .     Расстояние от точки   до плоскости    -- это, по определению, длина перпендикуляра   , опущенного из точки   на плоскость  (рис. 11.9).   Рис. 11 . 9 .Расстояние от точки до плоскости Вектор   и нормальный вектор n плоскости   параллельны, то есть угол  между ними равен 0 или   , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому   Откуда  ( 11 .8) Координаты точки   , которые нам неизвестны, обозначим  . Тогда   . Так как   , то  . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим  ( 11 .9) Точка   лежит на плоскости   , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости:  . Отсюда находим, что   . Подставив полученный результат в формулу ( 11.9 ), получим  . Так как   , то из формулы ( 11.8 ) следует формула ( 11.7 ).