Алгебраические свойства смешанного произведения

1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.

Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1.

Пример 1.21. Объем параллелепипеда, построенного на векторах  , равен  . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Решение. Используя алгебраические и геометрические свойства, найдем смешанное произведение а затем его модуль  . По первому геометрическому свойству смешанного произведения искомый объем равен .

Теорема 1.9 (формула вычисления смешанного произведения). Если векторы   в правом ортонормированном базисе  имеют координаты  ;  ;   соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле

В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определению находим: что и требовалось доказать.

32. Общее уравнение прямой на плоскости.

Общее уравнение 

Ax + By + C (  > 0).

     Вектор   = (А; В) - нормальный вектор прямой.

     В векторном виде:   + С = 0, где   - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

     Частные случаи:

     1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

     2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

     3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

     4) y = 0 - ось Ox;

     5) x = 0 - ось Oy.

     Уравнение прямой в отрезках 

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

     Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11) 

где   - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

     Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь   - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если   и произвольно, еслиC = 0.

Векторно-параметрическое уравнение прямой 

где   - фиксированная точка, лежащая на прямой;   - направляющий вектор (см. рис. 4.11).

     В координатах (параметрические уравнения):

     Каноническое уравнение прямой 

     Уравнение прямой по двум точкам (рис. 4.12) 

или

или

     Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту (рис. 4.12) 

 или 

где   b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

Отклонение точки от прямой 

 или 

где знак перед корнем противоположен знаку C, если   и выбран произвольно, если C = 0.

     Расстояние от точки до прямой 

     Взаимное расположение двух прямых 

     Прямые   и  :

пересекаются 

параллельны (но не совпадают) 

совпадают 

     Прямые   и  :

пересекаются 

параллельны (но не совпадают) 

совпадают 

     Прямые   и  :

пересекаются 

параллельны (но не совпадают) 

совпадают 

Угол между двумя прямыми 

     Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых 

 или   или 

     Расстояние между параллельными прямыми 

     Если прямые заданы уравнениями   и   то

а если уравнениями   и   то

     Пучок прямых 

     Если   - центр пучка, то уравнение пучка

     Если центр задан пересечением двух прямых

то уравнение пучка