Геометрические свойства векторного произведения

1. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на множителях (рис. 1.42,6).

2. Векторное произведение равняется нулевому вектору тогда и только тогда, когда множители коллинеарны, т.е.

, в частности,  .

Первое свойство следует из определения. Докажем второе свойство. Равенство   возможно в трех случаях:  , или  , или  . В каждом из этих случаев векторы   и   коллинеарны (см. разд. 1.1).

Пример 1.19. Вычислить площади параллелограмма и треугольника, построенных на векторах  , где  , угол между векторами   и   равен   (рис. 1.44).

Решение. Используя алгебраические свойства, найдем сначала векторное произведение а затем его модуль 

По первому геометрическому свойству векторного произведения искомая площадь параллелограмма равна  , а площадь треугольника в 2 раза меньше:  .

Выражение векторного произведения через координаты векторов

Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис  . Векторные произведения базисных векторов находятся по определению:

Формулы (1.14) можно получить, используя диаграмму (рис. 1.45): если на этой схеме кратчайший поворот от первого множителя ко второму совершается в положительном направлении (указанном стрелкой), то произведение равно третьему вектору, а если — в отрицательном направлении, то произведение равно третьему вектору, взятому со знаком минус (противоположному вектору).

Найдем выражение векторного произведения через координаты множителей. Пусть в стандартном базисе   векторы   и   имеют координаты   и   соответственно. Тогда, используя линейность векторного произведения по любому множителю (см. пункт 2 замечаний 1.12) и формулы (1.14), получаем

Запишем это равенство при помощи определителей второго порядка:

Правую часть (1.15) можно представить как результат разложения символического определителя третьего порядка по первой строке

31. Смешанное произведение векторов и его свойства.

1.16. Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанным произведением векторов   называется число  , равное скалярному произведению вектора   на векторное произведение векторов   и  . Смешанное произведение обозначается  .

Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов   равен объему   параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение   положительно, если тройка векторов   — правая, и отрицательно, если тройка   — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение   равно нулю тогда и только тогда, когда векторы   компланарны:

 векторы   компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение:  , где   — угол между векторами   и  . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади   параллелограмма, построенного на векторах   и  : . Поэтому  . Алгебраическое значение   длины проекции вектора  на ось, задаваемую вектором  , равно по модулю высоте   параллелепипеда, построенного на векторах   (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему   этого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла  . Если тройка   правая, то   и смешанное произведение   положительно. Если же тройка   левая, то   и смешанное произведение   отрицательно.

Докажем второе свойство. Равенство   возможно в трех случаях:   или   (т.е.  ),или   (т.е. вектор   принадлежит плоскости векторов   и  ). В каждом случае векторы   компланарны (см. разд. 1.1).