29. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов   и   обозначается

(1.7) где   — величина угла между векторами   и   (см. рис. 1.22 в разд. 1.6).

Скалярное произведение вектора самого на себя   называется скалярным квадратам.

Пример 1.13. Найти скалярные произведения , если известно, что  , угол   между векторами   и   равен  ,  , а вектор   образует с вектором   угол   (рис.1.36).

Решение. По определению находим

Так как векторы   и  противоположно направленные, то угол   между векторами   и   равен  . Поэтому

Угол между противоположно направленными векторами   и   равен  , поэтому

Вектор   ортогонален вектору   (и вектору  ), так как величина угла между ними равна  , а  . Поэтому  .

Угол   между векторами   и   равен  , поэтому  .

Геометрический смысл скалярного произведения векторов

Рассмотрим ортогональную проекцию   ненулевого вектора   на ось, задаваемую вектором   (рис. 1.37). Согласно пункту 1 замечаний 1.4 (см. разд. 1.2.3), алгебраическое значение   длины проекции равно произведению длины вектора   на косинус угла между векторами   и  :

Умножив обе части этого равенства на  , получим  . Сравнивая с (1.7), делаем вывод: скалярное произведение ненулевых векторов   и   равно произведению длины вектора   на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора   на ось, задаваемую вектором  :

Эта формула остается справедливой и в случае  , так как  .

Аналогично (см. пункт 2 замечаний 1.4) доказывается формула  и делается вывод о том, что скалярное произведение ненулевых векторов   и   равно произведению длины вектора   на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора   на ось, задаваемую вектором  .

Алгебраические свойства скалярного произведения

Для любых векторов   и любого действительного числа  :

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  , причем из равенства   следует, что  .

Первое свойство определяет симметричность скалярного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю, четвертое свойство — неотрицательность скалярного квадрата. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство соответствует закону коммутативности умножения чисел, второе — закону дистрибутивности умножения по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является число (скаляр), то такое произведение векторов называется скалярным.

Свойства 1 и 4 следуют непосредственно из определения. Докажем, например, аддитивность скалярного произведения по первому множителю (свойство 2): . Если вектор   — нулевой, то все скалярные произведения равны нулю по определению, т.е. для   имеем верное равенство. Пусть  . Учитывая, что проекция суммы векторов равна сумме проекций (см. разд. 1.2.2) (то же относится и к алгебраическим значениям длин ортогональных проекций (см. разд. 1.2.3)), можно записать .

Умножая обе части на  , получаем .

Учитывая (1.8), последнее равенство равносильно , что и требовалось доказать. Однородность скалярного произведения по первому множителю (свойство 3) доказывается аналогично, используя соответствующее свойство ортогональных проекций векторов (см. разд. 1.2.3).